Réponse :
[tex]\forall n \in \mathbb{N} ; n\geq 5 \quad 2^n \geq 6n[/tex]
Explications étape par étape
Soit n = 5 :
2⁵ = 32
6 x 5 = 30
L'inégalité est vraie quand n = 5.
Soit [tex]n \geq 5[/tex] supposons que [tex]2^n \geq 6n[/tex] et montrons que [tex]2^{n+1}\geq 6(n+1)[/tex] :
[tex]2^{n+1} = 2\times 2^n \\\\\\2^{n+1} \geq 2\times 6n \quad \text{par hypoth\`ese de r\'ecurrence}\\\\\\2^{n+1} \geq 12n[/tex]
Montrons que 12n > 6(n+1) :
n ≥ 5 ⇒ 12n ≥ 60
n ≥ 5 ⇒ 6(n+1) ≥ 6(5 + 1) = 36
On a bien 12n > 6(n+1)
Par conséquent :
[tex]2^{n+1} \geq 6(n+1)[/tex]
L'hypothèse de récurrence est validée.
