Réponse :
Explications étape par étape
Bonsoir, il s'agit ici d'une équivalence, le sens inverse est facilement démontrable. Pour celui indiqué, il te faut au préalable, connaître un peu d'arithmétique modulaire. Tu évoques la parité de n, ici elle n'est pas nécessaire, puisque tu étudies des suites extraites, dont la fonction extraite est définie modulo 3.
Pour parcourir l'ensemble des entiers naturels, tu peux procéder ainsi :
3*0, 3*0+1, 3*0 + 2 etc. Il faudra donc étudier 3 cas.
En revanche, tu as bien commencé. Ces 3 sous suites extraites convergent, si et seulement si :
∀ ε > 0, il existe N, N' et N'' ∈ N, tels que ∀ n ≥ N, | u(3n) - l | < ε d'une part.
∀ n ≥ N', | u(3n+1) - l | < ε, et enfin ∀ n ≥ N'', | u(3n+2) - l | < ε.
Par commodité, posons r(n) = u(3n), s(n) = u(3n+1) et t(n) = u(3n+2).
Ensuite, posons φ = Max(3N, 3N'+1, 3N''+2), alors ∀ n ≥ φ :
1- Si n est un multiple de 3 (donc n congru à 0 modulo 3), alors, on peut réécrire l'égalité r(n) = u(3n) par u(n) = r(n/3) (il faut rester dans l'ensemble des entiers naturels, d'où le fait que n soit multiple de 3.
Or, n ≥ φ, comme n congru à 0 modulo 3, n/3 ≥ φ.
Conclusion : u(n) = r(n/3) et n/3 ≥ φ, donc | u(n) - l | < ε.
2- Si n est congru à 1 modulo 3, alors, en réitérant le raisonnement :
s(n) = u(3n+1) s'écrit aussi s((n-1)/3) = u(n). Identiquement, (n-1)/3 ≥ φ avec u(n) = s((n-1)/3), donc | u(n) - l | < ε.
3- Si n congru 2 modulo à 3, on recommence, pour avoir au final (n-2)/3 ≥ φ, avec u(n) = s((n-2)/3) donc | u(n) - l | < ε.
Au final, il suffit de considérer les suites extraites, d'étudier chaque cas modulaire, en étant méticuleux avec les notions (assez abstraites).
N'hésite pas si tu as du mal, chapitre assez complexe.
Bonne soirée
