Bonjour,
Exercice n°2 :
Pour mener une expédition contre la termitière voisine, la reine des fourmis lève une armée.
Elle nomme un général qui choisit sept colonels, qui prennent chacun sept capitaines qui prennent chacun sept lieutenants qui prennent chacun sept sergents qui choisissent chacun 49 soldats.
1. a) Montrer que le nombre total de soldats est une puissance de 7
On a 7 colonels, 7×7 = 7² capitaines, 7 × 7 × 7 = 7³ lieutenants, 7×7×7×7 = [tex]7^{4}[/tex] sergents et 7×7×7×7×(7×7)=[tex]7^{6}[/tex] soldats.
b) Calculer l'effectif total de cette armée.
L'effectif total de l'armée de fourmis est 1+7+7²+7³+[tex]7^{4}[/tex]+[tex]7^{6}[/tex]= 120450 combattants.
2. La reine des fourmis, elle lève une armée dont l’effectif est une puissance de 10.
Quel est l’exposant minimum de cette puissance pour que les termites soient plus nombreux que les fourmis ?
Comme 10 000 < 120450 alors si les termites veulent dépasser les fournis, ils devront être au nombre de 100 000 00 = [tex]10^{7}[/tex]. L'exposant minimum de la puissance de 10 est donc 7.
