Réponse :
Salut,
Explications étape par étape
notation : a²=a^2
1) p(x)=x^2-x+1
la dérivée de p(x) est p'(x)=2x-1
si p(x) est solution de (E) alors
y'+2y=p'(x)+2p(X) => y'+2y= (2x-1)+2(x^2-x+1)= 2x-1+2x^2-2x+2
y'+2y= 2x^2+1
donc la fonction p définie sur R par p(x) = x² − x + 1 est solution de l’équation différentielle (E).
2) a)
g(x)=f(x)-p(x) et (F): y'+2y=0
g'(x)=f'(x)-p'(x)
p(x) solution de (E) alors p'(x)+2p(x)=2x^2+1
f(x) solution de (E) alors f'(x)+2f(x)=2x^2+1
donc f'(x)+2f(x)=p'(x)+2p(x)
alors [f'(x)+2f(x)]-[p'(x)+2p(x)]=0
f'(x)-p'(x)+2[f(x)-p(x)]=0
on remplace par g(x)
g'(x)+2g(x)=0 soit y'+2y=0
donc le fonction g définie sur R par g(x) = f(x) − p(x) est solution de l’équation différentielle (F): y′ + 2y = 0 .
b) f(x)=g(x)+p(x)
f'(x)=g'(x)+p'(x)
g une solution sur R de l'équation différentielle (F) :y'+2y=0
soit g'(x)+2g(x)=0 => f'(x)-p'(x)+2[f(x)-p(x)]=0
=> [f'(x)+2f(x)]-[p'(x)+2p(x)]=0 => f'(x)+2f(x)=p'(x)+2p(x)
p(x) est solution de (E) donc p'(x)+2p(x)=2x^2+1
d'où f'(x)+2f(x)=2x^2+1 donc la fonction f définie sur R par f(x) = g(x) + p(x) est solution de (E).
3) (F) : y'+2y=0
La solution générale de cette équation sur R est :
y= k [tex]e^{-2x}[/tex] avec k un réel quelconque.
4)
g(x)=f(x)-p(x)=y et p(x)=x^2-x+1
f(x)-p(x) = k [tex]e^{-2x}[/tex] => f(x)= k [tex]e^{-2x}[/tex]+p(x) => f(x)= k[tex]e^{-2x}[/tex]+x^2-x+1
5) f(2)=6 => f(2)= k [tex]e^{-4}[/tex]+4-2+1= k [tex]e^{-4}[/tex]+3=6 => k [tex]e^{-4}[/tex]=3 => k=3[tex]e^{4}[/tex]
soit f(x)=3[tex]e^{4}[/tex] [tex]e^{-2x}[/tex] +x^2-x+1 solution de (E)