Bonjour!

On considère un carré ABCD de côté 10 cm.
On place un point M sur le segment [AB] et on construit les carrés
AMEF et CHEN comme sur la figure ci-dessous. On pose AM = x.
--------------Questions-----------------

1. À quel intervalle appartient x ? Justifier.

2. On définit sur cet intervalle la fonction f qui à x associe l'aire de
la surface grisée.
Montrer que cette fonction A est définie par :
f(x) = 2x2 - 20x + 100.

3. Montrer que f(x) = 2(x - 5)2 + 50.

4. Déterminer la(les) valeur(s) de x pour la(les)quelle(s) l'aire grisée
est égale à 50 cm. La résolution d'une équation adaptée est
attendue.

5. On veut maintenant déterminer lales) valeur(s) de x pour
la(les)quelle(s) l'aire grisée est égale à 68 cm².

a. Montrer que pour répondre à cette question, il faut résoudre
l'équation : 2x2 - 20x +32 = 0.

b. Montrer que 2x2 - 20x +32 = (2x - 4)(x-8).

c. En déduire la réponse au probleme.

Merci))

Question

Answered

Sagot :

BOJAR BOJAR · Answer 1 · 2021-02-06T14:56:34+01:00

Réponse :

Salut,

Explications étape par étape

1) x appartient à [0;10] puisque M est un point de [AB] de longueur 10 cm. Quand M=A alors x=0 et quand M=B alors x=10.

2) f(x)= aire de la surface grisée = aire du carré AMEF + aire du carré ENCH

AM=EF

=> aire AMEF : AM.EF = AM.AM= x.x=x²

EN=CH; EN=MB; MB=AB-AM= 10-x

=> aire ENCH : => EN.CH = MB.MB= (AB-AM)(AB-AM)= (10-x)(10-x)=100-10x-10x+x²=100-20x+x²

f(x)= (x²)+(100-20x+x²)=2x²-20x+100

f(x)=2x²-20x+100

3) f(x)=2x²-20x+100=2x²-20x+50+50 = 2(x²-10x+25)+50

identité remarquable a²-2ab+b²= (a-b)² => x²-2.5x+5²=(x-5)²

f(x)=2(x-5)²+50

4) l'aire grisée est égale à 50 cm², soit f(x)=50

f(x)= 2(x-5)²+50=50 => 2(x-5)²=0 => x-5=0 => x=5

une seule valeur x=5

5)a) l'aire grisée est égale à 68cm² alors

f(x) = 2x²-20x+100=68 => 2x²-20x+ (100-68)=0

résoudre f(x)= 68 c'est résoudre l'équation 2x²-20x+32=0

b) développons (2x-4)(x-8)=2x²-16x-4x+32=2x²-20x+32

c) résoudre f(x)=68 c'est résoudre 2x²-20x+32=0, c'est donc résoudre (2x-4)(x-8)=0

c'est donc que (2x-4)=0 ou (x-8)=0, soit x=2 ou soit x=8

ainsi les valeurs de x pour la(les)quelle(s) l'aire grisée est égale à 68 cm² sont donc x=2 et x=8.

Bonne continuation. Merci de t'abonner à mon compte.