Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Partie A :
1)
1000=1 millier
U(1)=12
U(2)=15
15/12=1.25
Donc :
U(2)=U(1) x 1.25
Ou :
U(n+1)=U(n) x 1.25 : suite géométrique de raison q=1.5 et de 1er terme U(1)=12.
2)
On sait alors que :
U(n)=U(1) x q^(n1) soit :
U(n)=12 x 1.25^(n-1)
3)
U(8)=12 x 1.25^7 ≈ 57 s
4)
On résout :
12 x 1.25^(n-1) ≥ 90
1.25^(n-1) ≥ 72
(n-1)ln1.25 ≥ ln72
n-1 ≥ ln72/ln1.25
n ≥ (ln72/ln1.25) +1
Soit n ≥ 3430 personnes.
Partie B :
1)
f(x)=10x-8ln(x)
f '(x)=10 -8/x
f '(x)=(10x-8)/x
Le facteur x est > 0 car x ≥ 0.5.
10x-8 > 0 ==> x > 0.8
x------>0.5................0.8.................15
f '(x)--->..........-..........0..........+...........
f (x)--->..........D..........?..........C..........?
D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.
f(0.5) ≈10.545 ( en milliers) ; f(0.8) ≈ 9.785 ( en milliers) et f(15) ≈ 128.336 ( en milliers) .
3)
a)
Sur [0.5;0.8] , la fct f(x) est continue et strictement décroissante et reste dans des valeurs < 90.
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il n'existe pas de réel α tel que f(α)=90.
Sur [0.8;15]] , la fct f(x) est continue et strictement croissante passant de la valeur 9.785 pour x=0.8 à la valeur 128.336 pour x=15.
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un unique réel α tel que f(α)=90.
b)
La calculatrice donne : α ≈ 10.912
Car f(10.911) ≈ 89.992 et f(10.912) ≈ 90.001
Temps de 90 s pour 10912 personnes connectées.
