Réponse :
Bonjour
f(x)=(x²-7x+10)/(2-2x) Nota: quand on remplace un trait de fraction horizontal par un slash il faut ajouter des ( )
Explications étape par étape
a)Domaine de définition Df=R -{1} car la division par 0 est impossible.
b) les bornes sont -oo; 1-; 1+; +oo
si x tend vers 1(avec x<1) f(x) tend vers 4/0+=+oo
si x tend vers 1 (avec x>1) f(x) tend vers 4/0-=-oo
On écrit f(x) sous la forme f(x)=ax+b+c/(2-2x)
pour cela on fait la division euclidienne littérale (x²-7x+10) par (-2x+2) on obtient un quotient q=(-1/2)x+3 et un reste r=4
donc f(x)=(-1/2)x+3 +4/(2-2x)
si x tend vers- ou+oo, 4/(2-2x)tend vers 0
donc si x tend vers -oo, f(x) tend vers la limite de (-1/2)x+3 soit +oo
si x tend vers +oo, f(x) tend vers la limite de (-1/2)x+3 soit -oo
la droite y=(-1/2x)+3 est une asymptote oblique.
La droite x=1 est une asymptote verticale .Il n'y a pas d'asymptote horizontale.
c) Dérivée f(x) est de la forme u/v sa dérivée est donc (u'v-v'u)/v²
avec u=x²-7x+10 u'=2x-7
v=2-2x v'=-2
On remplace dans la formule développe et réduit le numérateur pour arriver à f'(x)=(-x²+2x+3)/2(1-x)². (avec des ( ) et sans oublier ² )
d) Le signe de f'(x) dépend uniquement du signe de -x²+2x+3
via delta on résout -x²+2x +3=0 solutions x1=-1 et x2=3
e) Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo -1 1 3 +oo
f'(x) ..........-............0.......+................ .II..........+..............0.................-................
f(x) +oo ....décroi....f(-1).....croi.......+ooII-oo...croi.........f(3).........décroi.........-oo
f(-1)=9/2 et f(3)=1/2 II = valeur interdite
f) La courbe représentative de f(x) admet deux tagentes horizontales
y=9/2 et y=1/2 ce sont les tangentes aux points d'abscisse x=-1 et x=3.
g) tangente au point d'abscisse x=0 On applique la formule
y=f'(0)(x-0)+f(0)=(3/4)x+5
h) On note que la droite d'équation y=2 n'a aucun point d'intersection avec la courbe représentative de f(x) donc f(x)=2 n'a pas de solution.
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2)g(x)=V[f(x)]
a) La fonction racine carrée est définie si le radicande est >ou=0.
Sur ]-oo; 1[, la fonction f(x) est >0 donc g(x) est définie.
b) La fonction g est de la forme V[u(x)] sa dérivée est g'(x)=u'(x)/2V[u(x)] ce qui donne
g'(x)= f'(x)/2*V[f(x)] = [(-x²+2x+3)/2(1-x)²] / 2*V[(x²-7x+10)/2(1-x)]