Réponse :
Explications étape par étape
Bonsoir, en voici quelques unes, non exhaustives.
1re démonstration :
Disjonctions de cas, supposons que a soit pair. Alors il existe un entier naturek k, tel que a = 2k. Ainsi : a² - a = 4k² - 2k = 2k(2k-1) qui est pair.
Si a est impair, alors a = 2k+1, d'où a² - a = 4k² + 4k + 1 - (2k+1) = 4k² + 2k = 2k(2k+1) qui est pair.
Donc, quelle que soit la parité de a, a² - a est pair.
2e démonstration :
Par l'absurde. Soit a un entier, supposons que a² - a ne soit pas pair.
Alors il existe un entier k naturel, tel que a² - a = 2k+1.
L'idée étant de prouver que sous cette configuration, on trouve un lien entre a et k, qui induit l'absurdité.
Or, 2k+1 = (k+1)² - k², d'où a² - a = (k+1)² - k².
Nécessairement, par identification, on aurait a = k+1, et a = k². Mais, si a = k², a² = k^4, ce qui est absurde.
Conclusion : a² - a doit être pair.
3e démonstration :
Le produit de 2 nombres consécutifs donne forcément un entier pair.
On peut le prouver par factorisation :
a² - a = a(a-1). L'un des 2 sera forcément pair, l'autre impair.
