Bonjour,
Je pourrais te donner les résultats et tu recopies sans te poser de questions mais cela ne t'apporterait rien et comme tu recherches de l'aide je vais essayer d'expliquer et te laisser faire par toi même le reste.
Tu sais que l'intégrale de f sur le segment [a;b] représente l'aire algébrique contenue entre la courbe représentative de f : y=f(x), l'axe des abscisses et les droites x=a et x=b
En piece jointe, j'ai tracé la fonction du premier exo.
C'est évidemment un quart de cercle car
[tex]x^2+y^2=1 => y=\sqrt{1-x^2}[/tex]
et tu reconnais dans l'expression à gauche l'équation d'un cercle de centre O et de rayon 1.
De ce fait, l'intégrale est exactement l'aire du quart de cercle de rayon 1, à savoir
[tex]\dfrac{\pi}{4}[/tex]
Une autre manière de voir cela est de faire le changement de variable t= cos(u). La fonction t qui à u de [0; [tex]\pi/2[/tex]] associe t(u)=cos(u) dans [0;1]
t est définie sur un intervalle vers un intervalle de IR, t est dérivable est de dérivé intégrable, De plus la fonction qui à t associe [tex]\sqrt{1-t^2}[/tex]
est une fonction continue sur [0;1] ainsi nous pouvons utiliser ce changement de variable est
[tex]\displaystyle \int_0^1 \sqrt{1-t^2} dt = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-cos^2(u)} \times sin(u)du\\\\= \int_0^{\pi/2} sin^2(u)du\\\\= \int_0^{\pi/2} \dfrac{1-cos(2u)}{2} du \\\\=\dfrac{\pi}{4}-[\dfrac{sin(2u)}{4}]_0^{\pi/2}\\\\=\dfrac{\pi}{4}[/tex]
Heureusement, on arrive au même résultat.
Les deux autres sont beaucoup plus simples.
A toi de jouer.
Merci
