Réponse :
a) déterminer les coordonnées du point G vérifiant
vec(GA)+2vce(GB) + vec(GC) = 0
soit G(x ; y)
vec(GA) = (1 - x ; - 1 - y)
vec(GB) = (- 1 - x ; - 2 - y) ⇒ 2vec(GB) = (- 2 - 2 x ; - 4 - 2 y)
vec(GC) = (- 2 - x ; 2 - y)
(1 - x ; - 1 - y) + (- 2 - 2 x ; - 4 - 2 y) + (- 2 - x ; 2 - y) = (0 ; 0)
⇔ 1 - x - 2 - 2 x - 2 - x = 0 ⇔ - 4 x - 3 = 0 ⇔ x = - 3/4
⇔ - 1 - y - 4 - 2 y + 2 - y = 0 ⇔ - 4 y - 3 = 0 ⇔ y = - 3/4
les coordonnées de G sont : G(-3/4 ; - 3/4)
b) déterminer les coordonnées du point D vérifiant
vec(BD) = vec(BA) + vec(BC)
soit D(x ; y)
vec(BD) = (x + 1 ; y + 2)
vec(BA) = (1+1 ; - 1 +2) = (2 ; 1)
vec(BC) = (- 2+1 ; 2+2) = (- 1 ; 4)
(x + 1 ; y +2) = (2 ; 1) + (- 1 ; 4) = (1 ; 5)
x + 1 = 1 ⇔ x = 0 et y + 2 = 5 ⇔ y = 3
les coordonnées du point D sont : D(0 ; 3)
c) que peut-on conjecturer pour les points B ; G et D ?
Démontrer cette conjecture
les points B ; G et D sont alignés
il suffit de démontrer que les vecteurs BD et GD sont colinéaires
vec(BD) = (0 + 1 ; 3 +2) = (1 ; 5)
vec(GD) = (3/4 ; 3+3/4) = (3/4 ; 15/4)
les vecteurs BD et GD sont colinéaires ssi x'y - y'x = 0
3/4)*5 -15/4)*1 = 15/4 - 15/4 = 0
les vecteurs BD et GD sont colinéaires, on en déduit donc que les points B , G et D sont alignés
Explications étape par étape
