Réponse :
f(x) = x³ définie sur R
1) pour tout réel a, et tout h ≠ 0
déterminer le taux de variation de la fonction f entre a et a+h
τ(h) = [f(a+h) - f(a)]/h = [(a+h)³ - a³]/h = [(a²+2ah+h²)(a+h) - a³]/h
= ((a³ + a²h + 2a²h + 2ah² + h²a + h³) - a³)/h
= ((a³ + 3a²h + 3ah² + h³ - a³)/h
= (3 a²h + 3 ah² + h³)/h
= h(3 a² + 3 ah + h²)/h
donc τ(h) = 3 a² + 3 ah + h²
justifier que f est dérivable en tout réel a et que f '(a) = 3 a²
f est dérivable en tout réel a ⇔ lim τ(h) = k (limite finie)
h→0
lim (3 a²+3 ah + h²) = 3 a² donc f continue et dérivable en tout réel a
h→0
f '(a) = lim τ(h) = 3 a² donc f '(a) = 3 a²
h →0
3) en déduire le nombre dérivé de f en - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 et 2
f '(-2) = 3*(-2)² = 12
f '(-1) = 3*(-1)² = 3
f '(0) = 0
f '(1) = 3
f '(2) = 12
4) f(- 2) = - 8 ⇒ y = f(-2)+ f '(-2)(x + 2) = - 8 + 12(x + 2) = 12 x + 16
f(-1) = - 1 ⇒ y = - 1 + 3(x + 1) = 3 x + 2
f(0) = 0 ⇒ y = 0
f(1) = 1 ⇒ y = 1 +3(x - 1) = 3 x - 2
f(2) = 8 ⇒ y = 8 + 12(x - 2) = 12 x - 16
Explications étape par étape
