Bonsoir !
Je reformule l'énoncé : la fonction f est définie sur un certain domaine Df, et pour tous les x de ce domaine Df, [tex]f(x)=\frac{1}{x}+2[/tex].
1) Plusieurs choses doivent te mettre sur la piste lorsqu'on cherche un domaine de définition : la division, et l'usage de fonctions dont le domaine est lui-même restreint (par exemple exp, ou ln).
Ici, seule la division est utilisée. La seule règle est qu'il est interdit de diviser par 0. Il faut donc, pour que la fonction soit définie, que [tex]x \neq 0[/tex]. C'est la seule contrainte : pour tous les autres x de R, la fonction f sera définie !
Donc [tex]D_f = \mathbb{R}\backslash \{0\} = \mathbb{R}^*[/tex].
2) Il faut dériver la fonction. La fonction f est dérivable sur ses deux intervalles de définition (c'est-à-dire ]-inf;0[ et ]0;+inf[) et pour tout x appartenant à l'un de ces deux intervalles, [tex]f'(x)=-\frac{1}{x^2}[/tex].
Cette fonction est négative sur ]-inf;0[ et sur ]0;+inf[, donc la fonction est décroissante sur ]-inf;0[ et sur ]0;+inf[. Attention, elle n'est pas décroissante sur R*, cela ne veut rien dire !
Le tableau ressemble à quelque chose comme ça :
-inf 0 +inf
f'(x) - | -
f ↘ | ↘
Je n'ai pas le temps de compléter la réponse, j'en suis désolé, je te donne seulement des indications rapides pour la suite :
3) il faut étudier la limite du temps d'accroissement en x=2, c'est-à-dire lim lorsque x->2 de (f(x)-f(2))/(x-2)
4) il faut appliquer l'équation de la tangente, représentée par la courbe y : f'(x)(x-a) + f(a) (ici a=2)
5) il faut étudier la quantité f(x)-(f'(x)(x-2)+f(2)) : son signe déterminera à quel moment f(x) < f'(x)(x-2)+f(2) (càd Cf en dessous de T) et idem pour > (càd Cf au dessus de T)
Bon courage, désolé pour la réponse partielle !
