Réponse :
Explications étape par étape
Bjr,
1.
Nous devons avoir x>0 pour que ln(x) soit défini et alors comme c est différent de 0
[tex]\dfrac1{x^2}[/tex]
est bien défini
[tex]\boxed{ D_f=\mathbb{R}^{+*}=]0;+\infty[}[/tex]
2.
Th des croissances comparées nous donne
[tex]\displaystyle \boxed{\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=0}\\\\\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac1{x^2}=+\infty\\\\\lim_{x \rightarrow 0} \ln{x}=-\infty\\\\\boxed{ \lim_{x \rightarrow 0} f(x)=-\infty}[/tex]
3.
f est dérivable sur Df car quotient de fonctions qui le sont
[tex]f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}x^2-2xln(x)}{x^4}=\dfrac{1-2ln(x)}{x^3}\\\\f'(x)=0 \iff ln(x^2)=1 \iff x^2=e \iff x=\sqrt{e}[/tex]
Pour
[tex]x \in ]0;\sqrt{e}], f'(x)\geq 0\\\\x \in [\sqrt{e};+\infty[, f'(x)\leq 0[/tex]
4. voir en pièce jointe
5.
(a) on en trouve un
(b) Comme la tangente passe par (0,0) nous avons
[tex]0=f'(a)(0-a)+f(a) \iff 0=-a\times f'(a)+f(a)=0 \iff \boxed{a \times f'(a)=f(a)}[/tex]
Cela donne
[tex]\dfrac{1-2ln(a)}{a^2}=\dfrac{ln(a)}{a^2} \iff 1-2ln(a)=ln(a)\\\\\iff 3ln(a)=1\\\\\iff ln (a^3)=ln(e) \\\\\iff a^3=e\\\\\iff \boxed{a=\sqrt[3]{e}}[/tex]
(c) suffit d'écrire l 'équationen remplaçant a par sa valeur et la tangente passe par O
6.
[tex]\displaystyle \int \dfrac{\ln(x)}{x^2} dx =\int \ln(x) d(\dfrac{-1}{x}) \\\\=[-\dfrac{\ln(x)}{x}]+\int \dfrac{1}{x^2}dx\\\\\boxed{=-\dfrac{ln(x)+1}{x}}[/tex]
Nous pouvons vérifier que la dérivée donne bien f(x)
Merci
