Réponse :
soit f(x) = a x + b + c/x définie sur R*
1) déterminer trois réels a ; b et c tels que :
- la courbe C passe par A(2 ; 1)
- en x = 2 la tangente est horizontale
- en x = 1 la tangente est // à la droite d'équation y = 3/2) x + 2
- f(2) = 2 a + b + c/2 = 1
- f '(x) = a - c/x² ⇒ f '(2) = a - c/4 = 0 ⇔ c = 4 a
- f '(1) = a - c = 3/2 ⇔ c = a - 3/2
{2 a + b + 4 a/2 = 1 ⇔ 2 a + b + 2 a = 1 ⇔ 4 a + b = 1
{a + b + c = 1/2 ⇔ a + b + (a - 3/2) = 1/2 ⇔ 2 a + b = 2
on a le système suivant :
{4 a + b = 1
{2 a + b = 2
...........................
2 a + 0 = - 1 ⇔ a = - 1/2
4*(-1/2) + b = 1 ⇔ - 2 + b = 1 ⇔ b = 3
c = 4*(-1/2) = - 2
donc f(x) = - 1/2) x + 3 - 2/x
3) étudier la position relative de d et C
f(x) - y = - 1/2) x + 3 - 2/x - (- 1/2 x + 3) = - 2/x
étudions le signe de f(x) - y = - 2/x
x - ∞ 0 + ∞
- 2 - || -
x - || +
- 2/x + || -
f(x) - y > 0 sur l'intervalle ]- ∞ ; 0[ ⇒ la courbe C est au dessus de d
f(x) - y < 0 sur l'intervalle ]0 ; + ∞[ ⇒ la courbe C est en dessous de d
étape par étape
