Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
R se déplace sur [AB] avec AB=8 donc :
x ∈ [0;8]
2)
On conjecture que f(x) est croissante sur [0;4] puis décroissante sur [4;8].
3)
(MR) // (CA) car ces deux droites sont toutes deux ⊥ à (AB). Donc :
Les 2 triangles BRM et BAC présentent une configuration de Thalès .
BR/BA=RM/AC
(8-x)/8=RM/6
RM=6(8-x)/8=(6/8)(8-x)=(3/4)(8-x)
RM=-(3/4)x+6
f(x)=AR * RM
f(x)=x[(-3/4)x+6]
f(x)=-(3/4)x²+6x
4)
On trouve f(x) max égal à 12 cm².
5)
f(4)=12
f(x)-f(4)=-(3/4)x²+6x-12
On va développer : -(3/4)(x-4)² , qui donne :
-(3/4)(x-4)²=-(3/4)(x²-8x+16)=-(3/4)x²+6x-12
On retrouve bien : f(x) -f(4) trouvé plus haut.
Donc :
f(x)-f(4)=-(3/4)(x-4)²
6)
(x-4)² est un carré donc est toujours positif ou nul si x=4.
Donc :
-(3/4)(x-4)² est toujours négatif ou nul si x=4.
Donc :
f(x)-f(4) ≤ 0
Donc :
f(x) ≤ f(4)
Ce qui prouve que f(x) passe par un max qui est f(4)=12 obtenu pour x=4.
