Explications étape par étape:
[tex]8 \sin(x ) \cos(x) \cos(2x) \cos(4x) = \\ 8 \times \frac{1}{2} \sin(2x) \cos(2x) \cos(4x) [/tex]
car
[tex] \sin(2x) = 2 \sin(x )\cos(x) [/tex]
(Formule)
alors
[tex] \sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x) [/tex]
ensuite
[tex]4 \sin(2x) \cos(2x) \cos(4x) = \\ 4 \times \frac{1}{2} \sin(2 \times 2x) \cos(4x) [/tex]
[tex]2 \sin(4x) \cos(4x) = \sin(8x) [/tex]
Pour la 2eme question:
[tex] \sin( \frac{8\pi}{7} ) = \sin( \frac{7 \times \pi}{7} + \frac{\pi}{7} ) \\ = \sin(\pi + \frac{\pi}{7} ) [/tex]
on sait que
[tex] \sin(\pi + x) = - \sin(x) [/tex]
(Formule)
D'ou
[tex] \sin( \frac{8\pi}{7} ) = - \sin( \frac{\pi}{7} ) [/tex]
Pour la question b:
On a trouvé précédemment que:
[tex]8 \sin(x ) \cos(x) \cos(2x) \cos(4x) = \sin(8x ) [/tex]
Donc
[tex]cos(x) \cos(2x) \cos(4x) = \frac{ \sin(8x) }{8 \sin(x) } [/tex]
En remplaçant x par
[tex] \frac{\pi}{7} [/tex]
On obtient:
[tex] \cos( \frac{\pi}{7} ) \cos( \frac{2\pi}{7} ) \cos( \frac{4\pi}{7} ) = \frac{ \sin( \frac{8\pi}{7} ) }{8 \sin( \frac{\pi}{7} ) } [/tex]
D'aprés 2a:
[tex] \sin( \frac{8\pi}{7} ) = - \sin( \frac{\pi}{7} ) [/tex]
donc
[tex] \cos( \frac{\pi}{7} ) \cos( \frac{2\pi}{7} ) \cos( \frac{4\pi}{7} ) = \frac{ \ - sin( \frac{\pi}{7} ) }{8 \sin( \frac{\pi}{7} ) } [/tex]
d'ou
[tex]\cos( \frac{\pi}{7} ) \cos( \frac{2\pi}{7} ) \cos( \frac{4\pi}{7} ) = - \frac{1}{8} [/tex]
