Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
f(x)=x²+3x+1
On sait que la fct f(x)=ax²+bx+c avec a > 0 est décroissnate sur ]-inf;-b/2a] et croissante ensuite.
Tu peux aussi étudfier le signe de la dérivée : f '(x)=2x+3
2x+3 > 0 pour x > -1.5 et tu places une ligne f '(x) dans le tableau.
Ici :
-b/2a=-3/2=-1.5
Variation :
x---------->-inf......................-1.5.......................+inf
f(x)-------->..............D...........-1.25............C.........
D=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
2)
g(x)=-1/(x+2)
Il faut : x+2 ≠ 0 donc x ≠ -2.
Je ne sais pas si tu as vu les dérivées ? Si oui :
g '(x)=1/(x+2)² qui est tjrs > 0 donc varition :
x-------->-inf......................-2....................+inf
g '(x)---->..........+..............||............+...........
g(x)----->...........C..............||............C.............
3)
a)
h(x)=x²+3x+1+1/(x+2)
On réduit au même dénominateur :
h(x)=[(x+2)(x²+3x+1)+1] / (x+2)
Tu développes le numérateur et la fin :
h(x)=(x³+5x²+7x+3) / (x+2)
On développe maintenant :
(x+1)²(x+3)=(x²+2x+3)(x+3)=...
A la fin : =x³+5x+7x+3
Donc :
h(x)=[(x+1)²(x+3)] / (x+2)
b)
h(x) est du signe de (x+3)(x+2) .
x--------->-inf...............-3.............-2.............+inf
(x+3)---->............-.........0......+..............+.........
(x+2)---->..............-...............-.......0.......+........
h(x)---->............+.........0........-.......||..........+......
c)
Sur ]-inf;-3] U ]-2;+inf[ , h(x) > 0 donc f(x)-g(x) > 0 donc f(x) > g(x) donc Cf au-dessus de Cg.
Sur [3;-2[ , Cf au-dessous de Cg.
Pour x=-1 les 2 courbes sont tangentes car f(-1)=g(-1)=-1
4)
La tgte commune sera en x=-1.
f ' (-1)=2(-1)+3=1
g '(-1)=1/(-1+2)²=1
Tu peux le prouver en résolvant :
f ' (x)=g '(x) soit :
2x+3=1/(x+2)²
Ce qui va être un peu long.
Tgte à Cf en x=-1 :
y=f '(-1)(x+1)+f(-1)
y=1(x+1)-1
y=x
Tgte à Cg en x=-1 :
y=g '(-1)(x+1)+g(-1)
y=1(x+1)-1
y=x.
Voir graph joint.
