Bonjour
Introduction
Pour voir si cette affirmation est vraie, on va prendre le triangle ABC et trouver quelle valeur doit avoir [tex]x[/tex] pour que le triangle soit rectangle.
Pour ce faire, on va utiliser la Réciproque du théorème de Pythagore qui nous dit que:
Si le carré du côté le plus long(*) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
(*) "le côté le plus long", il s'agit en soit de l'hypoténuse mais il ne peut pas porter ce nom tant qu'on a pas réussi à prouver qu'il s'agissait d'un triangle rectangle.
Calculs
Donc on va commencer par poser les valeurs pour effectuer la réciproque:
[tex](x+1)^{2} = 2^{2} + (x-2)^{2}[/tex]
On va calculer pour trouver la valeur que doit avoir [tex]x[/tex] pour que ce calcul soit bien et donc que le triangle soit rectangle [par la réciproque du théorème de Pythagore].
[tex](x+1)^{2} = 2^{2} + (x-2)^{2}\\[10pt](x^{2}+2x+1) = 2^{2} + (x-2)^{2}\\[10pt](x^{2}+2x+1) = 2^{2} + (x^{2} - 4x+4)\\[10pt]x^{2}+2x+1 = 2^{2} + x^{2} - 4x+4\\[10pt]x^{2}- x^{2} +2x+1 = 4 - 4x+4\\[10pt]2x+1 = 8 - 4x\\[10pt]2x +4x = 8 -1\\[10pt]6x = 7\\[10pt]x= \dfrac{6}{7} = 1,16[/tex]
Maintenant qu'on a trouver le [tex]x[/tex], pour s'assurer de ne pas avoir commis d'erreur, on le replace dans l'équation de la réciproque du théorème de Pythagore
[tex](x+1)^{2} = 2^{2} + (x-2)^{2}\\[8pt](\frac{7}{6}+1)^{2} = 2^{2} + (\frac{7}{6}-2)^{2}\\[8pt](\frac{13}{6})^{2} = 4 + (-\frac{5}{6})^{2}\\[8pt]\frac{169}{36} = 4 + \frac{25}{36}\\[8pt]\frac{169}{36} = \frac{36\times4}{36} + \frac{25}{36}\\[8pt]\frac{169}{36} = \frac{144}{36} + \frac{25}{36}\\[8pt]\frac{169}{36} = \frac{169}{36} = Vrai[/tex]
Voilà, donc là on a prouver par a + b, en se permettant même une vérification, que le triangle ABC est rectangle si [et seulement si] le [tex]x[/tex] est égal à 1,16.
Réponse
En prenant en compte l'instruction du point 3. (Soit [tex]x[/tex] un nombre réel > ou = à 2) on peut confirmer que l'affirmation dit vrai.
Voilà tout, j'espère que j'aurais assez développé les calculs pour que tu puisses bien comprendre et p-ê le refaire chez toi, si tu as mal compris quelque chose tu peux me demander dans les commentaires ;)
Bonne journée
