Sagot :
Réponse :
Pour préparer l'examen du permis de conduire on distingue deux types de formation :
- Formation avec conduite accompagnée.
- Formation traditionnelle.
On considère un groupe de 300 personnes venant de réussir cet examen. Dans ce groupe :
- 75 personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée ; parmi elles, 50 ont réussi l'examen à leur première présentation et les autres à leur seconde présentation.
- 225 personnes ont suivi une formation traditionnelle ; parmi elles, 100 ont réussi l'examen à leur première présentation, 75 à leur seconde présentation et 50 à la troisième présentation. On interroge au hasard une personne de ce groupe. On considère les événements :
A : la personne a suivi la formation avec conduite accompagnée.
R1 : réussite à la première présentation.
R2 : réussite à la seconde présentation.
R3 : réussite à la troisième présentation.
1. Modéliser la situation par un arbre pondéré.
2.a Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l'examen à sa deuxième présentation. 1 /12 ( voir ci-dessus).
2.b. Montrer que la probabilité que la personne interrogée ait réussi l'examen à sa deuxième présentation est égale à 1 /3. ( Voir ci-dessus).
2.c. La personne interrogée a réussi l'examen à sa seconde présentation. Quelle est la probabilité qu'elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée ?
PR2(A) =P(A n R2 ) / P(R2) =1 / 12 / (1 /3) = 3 /12 = 1/ 4 =0,25.
3. On note X la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s'est présentée à l'examen jusqu'à sa réussite.
a. Déterminer la loi de probabilité de X.
X
1
2
3
Probabilité
1 /6 + 1 /3 = 0,5
1 / 3
1 / 6
Soit A le point de coordonnées (-0,5 ; 3).
b. Calculer l'espérance de cette variable et interpréter.
E =0,5 +2 /3 +3 / 6 =3 /6 +4 /6 +3/6 =10 /6 = 5 / 3~1,67.
En moyenne, les candidats se présentent 1,67 fois à l'examen avant de réussir.
4. On choisit, successivement et de façon indépendante, n personnes parmi les 300 du groupe, où n est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de n personnes parmi les 300. On admet que la probabilité de l'événement R3 est 1 / 6.
a. Préciser un événement dont la probabilité est égale à 1-(5 /6)n.
Probabilité qu'une personne réussisse l'examen à la première ou à la deuxème présentation : 5 / 6.
Probabilité que n personnes réussissent l'examen à la première ou à la deuxème présentation : ( 5 / 6 )n.
Probabilité qu'au moins une personne parmi n personnes choisies réussissent l'examen à la troisième présentation : 1-(5 /6)n.
On considère la fonction Python seuil ci-dessous, où p est un nombre réel appartenant à ]0 ; 1 [.
def seuil(p)
n=1
while 1-(5 / 6)**n <=p
n = n+1
return n
b. Quelle est la valeur renvoyée par la commande seuil(0,9) ? interpréter.
1-(5 /6)n < 0,9 ; (5 /6)n > 0,1 ; n ln(5 /6) > ln(0,1) ; n < 12,6 soit 13.
Il faut interroger 13 personnes pour que la probabilité qu'au moins l'une d'entre elles ait réussi l'examen lors du troisième passage soit strictement supérieure à 0,9.
