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Bonjour, pouvez vous m’aider:

Pour préparer l’examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation :
- la formation avec conduite accompagnée ;
- la formation traditionnelle.
On considère un groupe de 300 personnes venant de réussir l’examen du permis de conduire. Dans ce groupe :
- 75 personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée ; parmi elles, 50 ont réussi l’examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.

- 225 personnes se sont présentées à l’examen suite à une formation traditionnelle ; parmi elles, 100 ont réussi l’examen à la première présentation, 75 à la deuxième et 50 à la troisième présentation.
On interroge au hasard une personne du groupe considéré.
On considère les événements suivants :
: « la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée » ;
1 : « la personne a réussi l’examen à la première présentation » ;
2 : « la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation » ;
3 : « la personne a réussi l’examen à la troisième présentation ».
1) Modéliser la situation par un arbre pondéré. Dans les questions suivantes, les probabilités demandées seront données sous forme d’une fraction irréductible.
2)
a) Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation.
b) Montrer que la probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à .
c) La personne interrogée a réussi l’examen à sa deuxième présentation. Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée ?

Sagot :

Réponse :

Pour préparer l'examen du permis de conduire on distingue deux types de formation :

- Formation avec conduite accompagnée.

- Formation traditionnelle.

On considère un groupe de 300 personnes venant de réussir cet examen. Dans ce groupe :

- 75 personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée ; parmi elles, 50 ont réussi l'examen à leur première présentation et les autres à leur seconde présentation.

- 225 personnes ont suivi une formation traditionnelle ; parmi elles, 100 ont réussi l'examen à leur première présentation, 75 à leur seconde présentation et 50 à la troisième présentation. On interroge au hasard une personne de ce groupe. On considère les événements :

A : la personne a suivi la formation avec conduite accompagnée.

R1 : réussite à la première présentation.

R2 : réussite à la seconde présentation.

R3 : réussite à la troisième présentation.

1. Modéliser la situation par un arbre pondéré.

2.a Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l'examen à sa deuxième présentation. 1 /12  ( voir ci-dessus).

2.b. Montrer que la probabilité que la personne interrogée ait réussi l'examen à sa deuxième présentation est égale à  1 /3. ( Voir ci-dessus).

2.c. La personne interrogée a réussi l'examen à sa seconde présentation. Quelle est la probabilité qu'elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée ?

PR2(A) =P(A n R2 ) / P(R2) =1 / 12 / (1 /3) = 3 /12 = 1/ 4 =0,25.

3. On note X la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s'est présentée à l'examen jusqu'à sa réussite.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

X

1

2

3

Probabilité

1 /6 + 1 /3 = 0,5

1 / 3

1 / 6

Soit A le point de coordonnées (-0,5 ; 3).

b. Calculer l'espérance de cette variable et interpréter.

E =0,5 +2 /3 +3 / 6 =3 /6 +4 /6 +3/6 =10 /6 = 5 / 3~1,67.

En moyenne, les candidats se présentent 1,67 fois à l'examen avant de réussir.

4. On choisit, successivement et de façon indépendante, n personnes parmi les 300 du groupe, où n est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de n personnes parmi les 300. On admet que la probabilité de l'événement R3 est 1 / 6.

a. Préciser un événement dont la probabilité est égale à 1-(5 /6)n.

Probabilité qu'une personne réussisse l'examen  à la première ou à la deuxème présentation : 5 / 6.

Probabilité que n personnes réussissent l'examen  à la première ou à la deuxème présentation : ( 5 / 6 )n.

Probabilité qu'au moins une personne parmi n personnes choisies réussissent l'examen à la troisième présentation : 1-(5 /6)n.

On considère la fonction Python seuil ci-dessous, où p est un nombre réel appartenant à ]0 ; 1 [.

def seuil(p)

n=1

while 1-(5 / 6)**n <=p

n = n+1

return n

b. Quelle est la valeur renvoyée par la commande seuil(0,9) ? interpréter.

1-(5 /6)n < 0,9 ; (5 /6)n > 0,1 ; n ln(5 /6) > ln(0,1) ; n < 12,6 soit 13.

Il faut interroger 13 personnes pour que la probabilité qu'au moins l'une d'entre elles ait réussi l'examen lors du troisième passage soit strictement supérieure à 0,9.

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