Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Partie A :
1) et 2)
Facile.
3)
f '(2) : coeff directeur de la tgte
f '(2) ≈ 0.55
4)
Deux semble-t-il :
y=-0.5
y=3
Partie B :
1)
a)
Quand x tend vers -inf , exp(x) tend vers 0 .
Donc :
lim f(x)=(3*0-1)/(0+2)=-1/2
b ) Donc asymptote en -inf : y=-1/2.
2)
f(x) est de la forme : u/v avec :
u=3exp(x)-1 donc u '=3exp(x)
v=exp(x)+2 donc v '=exp(x)
f '(x)=3exp(x)[exp(x)+2]-exp(x)[3exp(x)-1] / v²
On met exp(x) en facteur au numérateur:
f '(x)=exp(x)[3exp(x)+6-3exp(x)+1] / v²
f '(x)=7*exp(x) / (exp(x)+2)²
f '(x) est donc positif sur IR car numé et déno sont positifs.
3)
a)
Quand x tend vers +inf , alors "-x" tend vers -infini et l'on sait que la limite de la fct exponentielle en zéro est "-inf". Donc :
lim exp(-x)=0 quand x tend vers +inf.
b)
On va mettre exp(x) en facteur au numérateur et au dénominateur et simplifier ensuite.
f(x) = [exp x( 3-1/exp(x)] / [exp(x) ( 1 + 2/epx(x)]
On simplifie par exp(x) qui est ≠ 0 :
f(x) = ( 3-1/exp(x) ) / ( 1 + 2/exp(x))
f(x)=3-exp(-x)) / ( 1 + 2exp(-x))
c)
Quand x tend vers +inf , exp(-x) tend vers 0 .
Donc quand x tend vers + inf :
lim f(x)=(3+0) / (1+0)=3
d)
Ce qui prouve que la droite y=3 est asymptote à Cf en +inf.
4)
x------------->-inf...............................................+inf
f '(x)----------->...................+..............................
f(x)----------->lim=-1/2..........C......................lim= 3
C=flèche qui monte.
5)
On entre la fct dans la calculatrice avec :
Debtable=-1.2
PasTable=0.001
On trouve :
α ≈ -1.099
car f(-1.099) ≈ -0.0002 et f(-1.098) ≈ 0.00026
6)
Equa tgte en x=0 :
y=f '(0)(x-0)+f(0)
f '(0)=(7*1)/(1+2)²=7/9
f(0)=(3-1)/(1+2)=2/3
y=(7/9)x+2/3
Partie C :
Il manque le début de ce pb !
La pente en un point correspond au coeff directeur de la tgte en ce point.
Quand la fct f(x) est négative c'est-à-dire sur le dessin 2 pour x ∈ [-5:-1.009[, graphiquement , on constate que la pente de la tgte se rapproche de zéro.
Donc l'affirmation est vraie...si j'ai bien compris !!
On peut comparer aussi deux pentes.
On a vu, pour le point K , que f '(2) ≈ 0.55.
Calculons, pour l'arrivée dans l'eau ( si j'ai bien compris) :
f '(-1.099) ≈ 0.43
et 0.43 < 0.55
