Explications étape par étape:
1)- a)- Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n: Un ∈ [0; 1]
pour n=0, U0 = 1 donc U0 ∈ [0; 1]
Supposons que pour tout entier naturel n: Un ∈ [0; 1]
Un ∈ [0; 1]
==> 0 <= Un <= 1
==> -1 <= -Un <= 0
==> e^-1 <= e^-Un <= e^0 et 0 < e^-1 et e^0=1
==> 0 <= e^-Un <= 1 et 0<= Un <= 1
==> 0<= Un.e^-Un <= 1
==> 0 <= Un+1 <= 1
==> Un+1 ∈ [0; 1]
donc par recurrence on en deduit que pour tout n de N:
Un ∈ [0; 1]
1)-b)- On a démontré dans la question précédente que:
0 <= e^-Un <= 1 et comme Un >= 0
==> Un.e^-Un <= Un
==> Un+1 <= Un
2)- Un est décroissante et minorée donc Un est convergente et converge vers un réel l qui vérifie l'équation f(l)=l avec f une fonction définie sur [0; 1] par:
f(x)=x.e^-x
trouvons l:
f(l)=l
<==> l.e^-l = l
<==> l.e^-l -l =0
<==> l.(e^-l -1) = 0
<==> l=0 ou e^-l = 1
<==> l=0 ou l=0
<==> l=0
on en deduit que l=0