Réponse :
f(x) = (5 x + 4)/4 x définie sur R*
g(x) = x² + x + 1/4
1) démontrer que, pour tout réel non nul, g(x) - f(x) = (x - 1)(x + 1)²/x
g(x) - f(x) = x² + x + 1/4 - (5 x + 4)/4 x
= [4 x(x² + x + 1/4) - (5 x + 4)]/4 x
= (4 x³ + 4 x² + x - 5 x - 4)/4 x
= (4 x³ + 4 x² - 4 x - 4)/4 x
= 4(x³ + x² - x - 1)/4 x
= (x³ + x² - x - 1)/x
pour x = 1 ⇒ 1 + 1 - 1 - 1 = 0 donc 1 est une solution de l'équation
x³ + x² - x - 1 = (x - 1)(a x² + b x + c) = a x³ + b x² + c x - a x² - b x - c
= a x³ + (b - a) x² + (c - b) x - c
a = 1
- c = - 1 ⇒ c = 1
b-a = 1 ⇒ b = 1 + a = 1 + 1 = 2
donc (x - 1)(x² + 2 x + 1) = (x - 1)(x + 1)²
donc g(x) - f(x) = (x - 1)(x + 1)²/x
2) en déduire les abscisses des points d'intersection des courbes Cf et Cg
g(x) - f(x) = 0 ⇔ (x - 1)(x + 1)²/x = 0 ⇔ (x - 1)(x + 1)² = 0
⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1 ou x + 1 = 0 ⇔ x = - 1 (racine double)
les abscisses des points d'intersection de Cf et Cg sont - 1 et 1
3) démontrer que les courbes Cf et Cg admettent la même tangente au point A d'abscisse - 1
f '(x) = (5(4 x) - 4(5 x + 4))/16 x²
= (20 x - 20 x - 16)/16 x²
= - 1/x²
f '(- 1) = - 1
f(- 1) = (5*(-1) + 4)/4(-1) = - 1/- 4 = 1/4
l'équation de la tangente T à Cf au point A d'abscisse - 1 est :
y = 1/4 - (x + 1) = - x - 1 + 1/4 = - x - 3/4
g '(x) = 2 x + 1
g '(-1) = - 2 + 1 = - 1
g(-1) = 1 - 1 + 1/4 = 1/4
l'équation de la tangente à la courbe Cg au point A d'abscisse - 1 est :
y = 1/4 - (x + 1) = - x - 3/4
donc les courbes Cf et Cg ont la même tangente au point A d'abscisse - 1
Explications étape par étape