Bonsoir,
On veut prouver une propriété avec un [tex]\forall[/tex], donc on commence par en fixer un.
Soit [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex].
On distingue deux cas, selon que n est pair ou impair :
- Si n est pair, alors [tex]\frac{n}{2}\in\mathbb{Z}[/tex] donc [tex]E(\frac{-n}{2})=\frac{-n}{2}[/tex].
De plus : [tex]E(\frac{n+1}{2})=\frac{n}{2}[/tex] puisque [tex]E(\frac{n+1}{2})[/tex] est le plus grand entier [tex]\le\frac{n+1}{2}[/tex].
Ainsi :
[tex]\boxed{E(\frac{n+1}{2})+E(\frac{-n}{2})=0}[/tex].
- Si n est impair : [tex]\frac{n+1}{2} \in \mathbb{Z}[/tex] donc [tex]E(\frac{n+1}{2} )=\frac{n+1}{2}[/tex] et, comme précédemment, [tex]E(\frac{-n}{2})=\frac{-n-1}{2}[/tex].
Attention, la partie entière d'un nombre réel x est toujours inférieure ou égale à ce nombre, donc, par exemple, E(-3/2)=-2 (et non -1). C'est pour ça que [tex]E(\frac{-n}{2})=\frac{-n-1}{2}[/tex] (et non [tex]\frac{-n+1}{2}[/tex]).
On obtient encore :
[tex]\boxed{E(\frac{n+1}{2})+E(\frac{-n}{2})=0}[/tex] ce qui est donc toujours vrai.
