Réponse :
Bonjour le volume d'une boîte de conserve cylindrique dépend de son rayon r et de sa hauteur h
V=pi*r²*h et on sait que pi*r²*h=250 (équation1)
la surface de métal pour la fafriquer est composée de :
deux disques d'aire 2*pi*r² et de la bande latérale d'aire 2pi*r*h
Aire totale =2pi*r²+2pi*r*h (équation2)
Explications étape par étape
Résolvons ce problème pour que l'aire de métal nécessaire soit minimale.
De l'équation 1 on tire h=250/pi*r²
on reporte cette valeur de h dans l'équation 2 pour obtenir la fonction:
A(r)=2pi*r²+500/r
Il reste à étudier cette fonction pour r >0
Dérivée: A'(r)=4pi*r -500/r² ou (4pi*r³-500)/r²
A'(r)=0 si 4pi*r³=500 d'où r=rac cubique de 500/4pi=3,41 cm
Tableau de signes de A'(r) et de variations de A(r)
r 0 3,41 +oo
A'(r)......-......................... ...0..........+........................
A(r)II .....décroi.........A(3,41)........croi.............
Le rayon optimal est de 3,41 cm pour une hauteur de 250(/pi*3,41²)=6,84cm.
