Réponse :
1) placer les points E, F et G
/F
D/.........../.G........... /C.
/ / /
A/......... /................./B.........E
2) exprimer le vecteur EF en fonction des des vecteurs AB et AD
vec(EF) = vec(EA) + vec(AF) relation de Chasles
= - vec(AE) + vec(AF) or vec(AF) = vec(AD) + vec(DF)
et vec(DF) = - vec(FD)
vec(EF) = - vec(AE) + vec(AD) - vec(FD)
= - 4/3)vec(AB) + vec(AD) - (- 1/3)vec(AD)
= - 4/3)vec(AB) + vec(AD) + 1/3)vec(AD)
Donc vec(EF) = - 4/3)vec(AB) + 4/3)vec(AD)
3) les points E , F et G sont -ils alignés ?
les vecteurs EF et GF sont -ils colinéaires
vec(EF) = - 4/3)vec(AB) + 4/3)vec(AD)
= 4/3)vec(BA) + 4/3)vec(AD)
= 4/3)(vec(BA) + vec(AD)) relation de Chasles
= 4/3)vec(BD)
donc vec(EF) = 4/3)vec(BD)
vec(GF) = vec(GD) + vec(DF) d'après la relation de Chasles
or vec(GD) = - 1/3)vec(AB)
vec(GF) = - 1/3)vec(AB) + vec(DF) or vec(DF) = - vec(FD)
= - 1/3)vec(AB) - vec(FD)
= - 1/3)vec(AB) - (- 1/3)vec(AD)
donc vec(GF) = - 1/3)vec(AB) + 1/3)vec(AD) or vec(AB) = - vec(BA)
= 1/3)vec(BA) + 1/3)vec(AD)
= 1/3)(vec(BA) + vec(AD))
vec(GF) = 1/3)vec(BD)
vec(EF) = 4/3)vec(BD)
on obtient que vec(EF) = 4vec(GF) donc les vecteurs EF et GF sont colinéaires; on en déduit que les points E , G et F sont alignés
Explications étape par étape
