Bonsoir,
Soient [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] et [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex].
On écrit la seule chose qu'on connaît, la définition de la partie entière :
[tex]nx-1<E(nx)\le nx[/tex] et [tex]x-1<E(x)\le x \implies -nx \le -nE(x) <n-nx[/tex].
D'où, en sommant les deux encadrements :
[tex]-1<E(nx)-nE(x)<n[/tex],
donc comme il s'agit d'entiers : [tex]0 \le E(nx)-nE(x)\le n-1[/tex].
D'où, comme [tex]n>0[/tex] : [tex]0\le \frac{E(nx)}{n}-E(x)\le \frac{n-1}{n}<1[/tex].
Ce qui veut dire :
[tex]\underset{\in\mathbb{Z}}{\underbrace{ E(x)}} \le \frac{E(nx)}{n} < \underset{\in\mathbb{Z}}{\underbrace{E(x)}}+1[/tex]
ce qui veut exactement dire, par définition de la partie entière :
[tex]\boxed{E\Big(\frac{E(nx)}{n}\Big)=E(x)}[/tex].
