Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape
Un petit "merci pour votre aide" ne serait pas superflu !!
On fait le tableau de variation.
f(x)=x*exp(1+x) qui est de la forme u*v.
u=x donc u'=1
v=exp(1+x) donc v '=1*exp(1+x)=exp(1+x)
f '(x)=exp(1+x)+x*exp(1+x)
f '(x)=exp(1+x) (1+x)
exp(1+x) tjrs > 0 donc f '(x) est du signe de (1+x).
lim f(x)
x-->-inf=(-inf) *( + inf)=-inf
lim f(x)
x-->+inf=(+inf) *( + inf)=+inf
Variation :
x---------->-inf........................-1.......................+inf
f (x)------>....................-...........0.............+.............
f(x)------>-inf................D.........-1................C.............+inf
D=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
Donc sur ]-inf;-1] , f(x) < 0.
Sur [-1;+inf[ , f(x) est continue et strictement croissante et f(x) passe d'une valeur négative à des valeurs positives . Donc d'après le théorème des Valeurs Intermédiaires , il existe un unique réel α tel que f(α)=0.
f(0)=0*exp(1)=0
Tableau de signes :
x----------->-inf............................0....................+inf
f(x)---------->..............-.................0..........+..............
Voir graph pour contrôle.
