Bonsoir,
1) On le démontre par récurrence :
Considérons la proposition [tex] P_{n} [/tex] : "[tex]\forall n \in\mathbb{N}, U_{n}\geqslant3 [/tex]".
Initialisation :
Pour n=0, on a un problème, une erreur dans ton énoncé ([tex] U_{0}=2<3 [/tex]) mais bon initialisons pour n=1 :
[tex] U_{1}=\frac{4-3\times2+6}{2-1}=4>0 [/tex]. Donc [tex] P_{1} [/tex] est vérifiée.
Hérédité : Soit [tex] n\in\mathbb{N} [/tex].
Supposons que [tex] P_{n} [/tex] est vraie. On a :
[tex] U_{n}\geqslant3 [/tex].
Posons [tex] f:x\in\mathbb{R}\mapsto\frac{x^{2}-3x+6}{x+1} [/tex]. Cette fonction est derivable sur son ensemble de definition et on a :
[tex] f'(x)=\frac{(2x-3)(x+1)-(x^{2}-3x)}{(x+1)^{2}}=\frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}>0, \forall x>3 [/tex].
Donc cette fonction est croissante pour x>3.
On a donc :
[tex] U_{n}\geqslant3 \iff f(U_{n})\geqslant f(3) \iff U_{n+1}\geqslant3[/tex].
■.
2) On étudie [tex] U_{n+1}-U_{n} [/tex]:
[tex] U_{n+1}-U_{n}=\frac{U_{n}^{2}-3U_{n}+6}{U_{n}-1}-U_{n}=\frac{-4U_{n}+6}{U_{n}-1}<0 [/tex] car [tex] U_{n}\geqslant3\iff-4U_{n}+6\leqslant0 [/tex].
Donc [tex] (U_{n})_{n\in\mathbb{N}} [/tex] est decroissante. On en déduit donc (comme elle est minorée par [tex]3[/tex]), qu'elle converge d'après le théorème de la convergence monotone.
3) [tex] f [/tex] est continue sur [tex] [3;+\infty[ [/tex] car derivable sur cet intervalle. De plus, [tex] U_{n} [/tex] converge vers [tex] l\geqslant3 [/tex]. Donc d'après le théorème du point fixe, [tex] l [/tex] est solution de l'équation [tex] f(x)=x [/tex]. Résolvons-la :
[tex] f(x)=x \iff \frac{x^{2}-3x+6}{x-1}=x \iff x^{2}-3x+6=x(x-1) \iff x=3 [/tex]. Donc la suite [tex] (U_{n})_{n\in\mathbb{N}} [/tex] converge vers [tex] 3 [/tex].
Voilà, bonne soirée.
