Réponse :
bonjour f(x)=(3x+4)/(x²+1)
Explications étape par étape
1)Etude de f(x)
a) Df =R
b) limites
si x tend vers -oo, f(x) tend vers0-
si x tend vers +oo, f(x) tend vers 0+
c) Dérivée: f(x) est un quotoent u/v donc f'(x)=(u'v-v'u)/v²
f'(x)=[3(x²+1)-2x(3x+4)]/(x²+1)²=(-3x²-8x+3)(x²+1)²
le signe de f'(x) dépend du signe du trinome -3x²-8x+3
delta=100
solutions de f'(x)=0
x=-3 et x=1/3
d) tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo -3 1/3 +oo
f'(x) ..............-...................0...........+....................0.................-..................
f(x) 0-..........décroi..........-1/2.......croi...............+9/2..........décroi............0+
L'axe des abscisses est une asymptôte horizontale.
2)On note que f(-3)=-1/2; f(1/3)=9/2. Sachant que la courbe est continue et monotone sur [-3; 1/3] d'après le TVI il existe une et une seule valeur alpha appartenant à [-3;1/3] telle que f(alpha)=1
3) Je ne vois pas pourquoi utiliser une calculatrice alors que l'on peut obtenir la valeur exacte de cette solution par le calcul
f(x)=1 si (3x+4)/(x²+1)=1 soit 3x+4=x²+1
x²-3x-3=0
delta=21
solution x1=(3-V21)/2 =-0,79128 (environ) c'est celle demandée dans la question3.
L'autre solution x2=(3+V21)/2 appartient à l'intervalle [1/3; +oo[
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