Bonjour,
1) f(-2)=f(2) donc f n'est pas injective
2)
[tex]0\leq x^2< x^2+4\\\\|x|=\sqrt{x^2} < \sqrt{x^2+4}\\\\0< \sqrt{x^2+4}-|x|=f(x)[/tex]
f n'est donc pas surjective car aucun élement de IR- n'a d antécédent.
3)
a)
Comme x est sur IR+, |x|=x et donc
[tex]g(x)=\sqrt{x^2+4}-x[/tex]
g est dérivable et
[tex]g'(x)=\dfrac{x-\sqrt{x^2+4}}{\sqrt{x^2+4}}<0[/tex]
g est strictement monotone c'est donc une injection sur IR+
b)
g est décroissante de g(0)=2 à lim(g(x))=0
En effet
[tex](\sqrt{x^2+4}-x)\times \dfrac{\sqrt{x^2+4}+x}{\sqrt{x^2+4}+x}=\dfrac{x^2+4-x^2}{\sqrt{x^2+4}+x}\\\\=\dfrac{4}{\sqrt{x^2+4}+x}\rightarrow 0[/tex]
Donc g(IR+)=]0;2]
c)
De plus g est continue sur IR+
g strictement monotone et continue donc g est une bijection sur IR+
Pour x dans ]0;2]
[tex](gog^{-1})(x)=g(g^{-1}(x))=x=\sqrt{g^{-1}(x)^2+4}-g^{-1}(x)\\\\(x+g^{-1}(x))^2=g^{-1}(x)^2+4\\\\x^2+2xg^{-1}(x)-4=0\\\\g^{-1}(x)=\dfrac{4-x^2}{2x}[/tex]
Merci
