Bonjour,
1.
Initialisation
[tex]b \in [\sqrt{2};+\infty[\\\\\iff b \geq \sqrt{2}\\=> b^2\geq 2\\\\\text{ Et comme }u_0=2\text{ nous avons}\\1\leq u_0\leq b^2[/tex]
Donc c'est vrai au rang 0
Hérédité
Soit p un entier, supposons que cela soit vrai au rang p
[tex]1\leq u_p\leq b^2[/tex]
Et montrons que cela reste vrai au rang p+1
Nous utilisons l'hypothèse de récurrence pour écrire, comme b est positif
[tex]1\leq \sqrt{u_n}\leq \sqrt{b^2}=b\\\\1\leq u_{n+1}=b\sqrt{u_n}\leq b^2[/tex]
Donc c'est vrai au rang p+1
Conclusion
Nous venons donc de montrer par récurrence que pour tout entier naturel n
[tex]1\leq u_n\leq b^2[/tex]
2.a) comme les termes de la suite sont positifs
[tex]u_{n+1}-u_n=b\sqrt{u_n}-u_n=b\sqrt{u_n}-\sqrt{u_n}\times \sqrt{u_n}=\sqrt{u_n}(b-\sqrt{u_n})[/tex]
b)
[tex]\text{Nous avons } u_n>0 \text{ et } b>0\\\\\text{La fonction racine carree est croissante donc }\\\\\sqrt{1}=1\leq \sqrt{u_n} \leq \sqrt{b^2}=b \\\\\iff b-\sqrt{u_n} \geq 0[/tex]
Et une racine carrée est toujours positive dans la suite (un) est croissante car
[tex]u_{n+1}-u_n\geq 0[/tex]
3. La suite (un) est croissante et majorée par [tex]b^2[/tex] donc elle converge vers une limite l qui vérifie
[tex]l=b\sqrt{l} =>l^2=b^2l \iff l(l-b^2)=0 \\\\\iff l=0 \ ou \ l = b^2[/tex]
Mais comme nous savons que
[tex]u_n \geq 1[/tex]
la seule solution pour l est [tex]b^2[/tex].
Ainsi la suite (un) converge vers [tex]b^2[/tex].
Merci
