Bonjour,
1) Nous allons démontrer par récurrence que pour tout n entier non nul
[tex]u_n \in [1;2][/tex]
Initialisation
C'est vrai au rang n = 1 car
[tex]u_1=\dfrac{2u_0+1}{u_0+1}=\dfrac{2}{3/2}=\dfrac{4}{3}\\\\1\leq u_1=\dfrac{4}{3} \leq 2[/tex]
Hérédité
Supposons que cela soit vrai au rang p (entier non nul) et montrons que cela reste vrai au rang p+1
Par hypothèse de récurrence nous avons
[tex]1\leq u_p\leq 2[/tex] et donc
[tex]1=\dfrac{2+1}{2+1}\leq u_{p+1}=\dfrac{2u_p+1}{u_p+1} =\dfrac{2u_p+2-1}{u_p+1}=2-\dfrac1{u_p+1}\leq 2[/tex]
Donc c'est vrai au rang p+1
Conclusion
Nous venons démontrer par récurrence que pour tout n entier non nul
[tex]u_n \in [1;2][/tex]
2)
Etudions la fonction f qui à x réel , x>-1, associe
[tex]f(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{2(x+1)-2x-1}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2} > 0[/tex]
f est une fonction croissante et
[tex]f(x)=x \iff x^2-x-1=0 \iff x=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}[/tex]
Ainsi pour
[tex]\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \leq x\leq \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \\\\f(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2})=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \leq f(x)\leq f(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]
Nous pouvons donc démontrer par récurrence que tous les termes de la suite vérifient, pour n entier non nul
[tex]1\leq u_n\leq \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]
Et alors
[tex]u_{n+1}-u_n=\dfrac{-u_n^2+u_n+1}{u_n+1}\geq 0[/tex]
Car le signe du trinome est positif entre les racines
[tex]-x^2+x+1\geq 0 \text{ pour }\\\\\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\leq x \leq \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]
Ainsi la suite (un) est croissante
3) la suite (un) est croissante et majorée donc elle converge
et sa limite est en fait
[tex]\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]
Merci
