Réponse :
Explications étape par étape
Bonsoir, plusieurs méthodes possibles de résolution, dont certaines plus optimales. On considère n, un entier naturel, alors il est évident que :
[tex]n^{2}+1 < n^{2} + 2 < ... < n^{2}+n[/tex]
Puis, par décroissance de la fonction inverse :
[tex]\frac{1}{n^{2}+n} < \frac{1}{n^{2}+n-1} < ... < \frac{1}{n^{2}+1}[/tex]
Ensuite, on multiplie par n, l'inégalité ne sera plus forcément stricte, car si n vaut 0, on peut avoir égalité des termes :
[tex]\frac{n}{n^{2}+n} \leq \frac{n}{n^{2}+n-1} \leq ... \leq \frac{n}{n^{2}+1}[/tex]
Conservons scrupuleusement cette inégalité, et étudions celle-ci en 2 parties. On commence par le sens "inférieur ou égal".
Chaque terme est inférieur ou égal à [tex]\frac{n}{n^{2}+1}[/tex] donc, si on somme tous les termes inférieurs à celui-ci, par rapport à lui :
[tex]\frac{n}{n^{2}+n} + \frac{n}{n^{2}+n-1} + ... + \frac{1}{n^{2}+1} \leq \frac{n}{n^{2}+1} + \frac{n}{n^{2}+1} + ... + \frac{n}{n^{2}+1}[/tex]
Cette somme comporte n termes, le membre de droite sera donc multiplié par n :
[tex]U_n \leq \frac{n}{n^{2}+1}*n = \frac{n^{2}}{n^{2}+1}[/tex]
A présent, dans l'autre sens, chaque terme est supérieur ou égal à [tex]\frac{n}{n^{2}+n}[/tex], un raisonnement analogue nous conduit à écrire :
[tex]U_n \geq \frac{n}{n^{2}+n}*n = \frac{n^{2}}{n^{2}+n} = \frac{n^{2}}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}[/tex]
Conclusion :
[tex]\frac{n}{n+1} \leq U_n \leq \frac{n^{2}}{n^{2}+1}[/tex]
Pour déterminer cette limite, il suffit de factoriser par le terme de plus haut degré, dans chaque membre :
[tex]\frac{1}{1+\frac{1}{n} } \leq U_n \leq \frac{1}{1+\frac{1}{n^{2}} }[/tex]
Le terme de gauche, ainsi que celui de droite, tendent tous les deux vers 1. En vertu du théorème des gendarmes, on conclut que Un tend vers 1 en + infini.
