Bonjour,
On a :
[tex] 2\sin(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)^{2}=3-\cos(\beta)^{2} \iff 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)+\sin(\alpha)^{2}=2+\sin(\alpha)^{2} [/tex]
D'où :
[tex] 2\sin(\alpha)\cos(\beta)=2\iff \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)=2. [/tex]
Or, [tex] \alpha [/tex] et [tex] \beta [/tex] sont complémentaires donc [tex] \alpha+\beta=\frac{\pi}{2} \iff \sin(\alpha+\beta)=1 [/tex].
On a finalement :
[tex] \sin(\alpha-\beta)=1 \iff \alpha-\beta=\frac{\pi}{2} (2\pi) [/tex].
Il est clair que [tex] \alpha \geqslant \beta [/tex] car [tex] \sin(\alpha-\beta)=1>0 [/tex] et que [tex] \sin(x)>0, \forall x \in ]0;\pi[ [/tex].
Comme [tex] \alpha [/tex] et [tex] \beta [/tex] sont complémentaires, et que [tex] \alpha \geqslant \beta [/tex], on a donc :
[tex] \frac{\pi}{2}\geqslant\alpha>\beta [/tex].
Donc :
[tex] \alpha=\frac{\pi}{2} (2\pi) [/tex] et [tex] \beta=0 (2\pi) [/tex].
Voilà, bonne journée.
