Bonjour,
exo 6)
[tex]u_n=\dfrac{(-1)^nn^3+2n-4}{5n^2+2n+1}=\dfrac{(-1)^nn^3}{5n^2}\cdot \dfrac{1+(-1)^n\cdot 2/n^2-(-1)^n\cdot 4/n^3}{1+2/5n+1/5n^2}[/tex]
Le facteur à droite tend vers 1, donc le comportement de la suite à l'infini va suivre le comportement de
[tex]\dfrac{(-1)^n\codt n}{5}[/tex]
De ce fait
[tex]\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_{2n}=+\infty\\\\\lim_{n \rightarrow +\infty} u_{2n+1}=-\infty[/tex]
Donc la suite n'a pas de limite en [tex]+\infty[/tex]
Pour tout x réel
[tex]-1 \leq sin(x) \leq 1[/tex]
Donc
[tex]-\dfrac{n-2}{2n^2+1} \leq v_n \leq +\dfrac{n-2}{2n^2+1}\\\\\dfrac{n-2}{2n^2+1}=\dfrac{1-2/n}{1+1/2n^2}\dcot \dfrac{1}{2n}\\\\\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n-2}{2n^2+1} =0[/tex]
Avec le Th des gendarmes nous avons donc que la suite (vn) tend vers 0
On fait de même pour trouver que
[tex]|w_n|\leq \dfrac{1}{n^2+1}\rightarrow 0[/tex]
Donc la suite tend vers 0
[tex]r_n=n-sin(n)\geq n-1 \rightarrow +\infty[/tex]
Exo7)
1)
[tex]x\leq E(x) > x+1 \\\\\sqrt{n} \leq E(\sqrt{n}) < \sqrt{n} +1\\\\\dfrac1{\sqrt{n}} \leq u_n < \dfrac1{\sqrt{n}}+\dfrac1{n}[/tex]
Th des gendarmes => la suite (un) tend vers 0
2)
[tex]\sqrt{n} \leq E(\sqrt{n}) < \sqrt{n} +1\\\\n\leq E(\sqrt{n})^2 < n+2\sqrt{n}+1\\1 \leq v_n < \dfrac{n+2\sqrt{n}+1}{n}=1+2/\sqrt{n}+1/n\rightarrow 1[/tex]
Th des gendarmes => la suite (vn) tend vers 1
