Bonjour,
Tout d'abord, calculons l'aire du triangle [tex] ABC [/tex] :
[tex] A_{ABC}=\frac{AB \times AC}{2}=18 [/tex]
Ensuite, notons que : [tex] AD=AB-DB=9-x [/tex].
Ainsi, [tex] A_{ADE}=\frac{AD \times AE}{2}=\frac{x(9-x)}{2} [/tex].
On cherche donc à resoudre :
[tex] A_{ADE}=\frac{1}{2}A_{ABC} \iff \frac{x(9-x)}{2}=\frac{18}{2} \iff x(9-x)=18 [/tex]
On a :
[tex] x(9-x)=9 \iff x^{2}-9x+18=0 [/tex].
Calculons le discriminant :
[tex] \delta=(-9)^{2}-4\times18\times1=81-72=9>0 [/tex]
Il y a donc deux racines distinctes, valant :
[tex] x_{1}=\frac{9-\sqrt(\delta)}{2}=\frac{9-\sqrt(9)}{2}=3 [/tex].
ou [tex] x_{2}=\frac{9+3}{2}=6[/tex]
Donc, pour que l'aire du triangle [tex] ADE [/tex] soit égale à la moitié du triangle [tex] ABC [/tex], il faut et il suffit que [tex] x=3 [/tex] ou [tex] x=6 [/tex]
Voilà, bonne soirée.
