Bonjour,
Soit b un nombre réel non nul,
Soit a un nombre réel non nul,
[tex]ax^2+\left(1-2a\right)x+a=bx^2+\left(1-2b\right)x+b[/tex]
<=> [tex]ax^2+\left(1-2a\right)x+a-b=bx^2+\left(1-2b\right)x[/tex]
<=> [tex]ax^2+\left(1-2a\right)x+a-b-\left(1-2b\right)x=bx^2+\left(1-2b\right)x-\left(1-2b\right)x[/tex]
<=> [tex]ax^2-2ax+2bx+a-b=bx^2[/tex]
<=> [tex]ax^2-2ax+2bx+a-b-bx^2=bx^2-bx^2[/tex]
<=> [tex]\left(a-b\right)x^2+\left(-2a+2b\right)x+a-b=0[/tex]
Puis, le discriminant d= (-2a+2b)²-4*(a-b)*(a-b) = 4a²-8ab+4b² - (4a²-8ab+4b² )
= 0
On a donc une unique solution qui a pour abscisse [tex]x=-\frac{b}{2a}[/tex]
= [tex]-\frac{-2a+2b}{2\left(a-b\right)}=1[/tex]
Puis f(1)=a*1²+(1-2a)*1+a=a+(1-2a)+a=1
Ainsi, Quelle que soit la valeur de a et la valeur de b, chaque courbe passeront par le point (1,1)
La droite tangente en 1 à pour équation y=f'(1)(x-1) + f(1)
or f'(x)=2ax-2a+1, puis f'(1)=(2a*1)-2a+1=1 et f(1)=1
Puis y= 1(x-1)+1 = x
Donc quelque soit la valeur de a, quand x=1, les courbes auront une la même tangente en x=1 ( d'équation y=x)
