Réponse :
bonjour
La première partie de l'exercice est très facile il suffit d'appliquer les connaissances vues cours.
Explications étape par étape
g(x)=2e^x+2x-7
cette est définie sur R DF=R
limites
x tend vers -oo, 2e^x tend vers 0, 2x ten vers -oo donc g(x) tend vers-oo
x tend vers+oo, g(x) tend vers+oo, 2x tend vers+oo donc g(x) tend vers+oo
dérivée
g'(x)=2e^x +2 cette dérivée est toujours>0 donc g(x) est croissante
Tableau
x -oo alpha +oo
g'(x) .............................................+...........................................................
g(x) -oo ........croissante...............0............croissante.................+oo
D'après le TVI il existe une et une seule valeur "alpha" telle que g(alpha)=0
pour moi apha=0,91 (environ) vérifie avec ta calculette
On peut en déduire que g(x) est <0 sur ]-oo;alpha[ et >0 sur ]alpha; +oo[
Partie B
f(x)=(2x-5)(1-e^-x) f(x) est définie sur R
limites
si x tend vers -oo , 2x-5 tend vers -oo , 1-e^-x tend vers -oo donc f(x)tend vers+oo
si x tend vers+oo, 2x-5 tend vers+oo et (1-e^-x) tend vers 1 donc f(x) tend vers+oo
Dérivée
f'(x)=2(1-e^-x)-(e^-x)(2x-5)= 2+ (e^-x) (2x-7)
si j'effectue le calcul g(x)*(e^-x) =2(e^x)(e^-x)+(e^-x)(2x-7)=2+(e^-x)(2x-7)
je constate que f'(x)=g(x)(e^-x)
comme e^-x est >0 f'(x) a le même signe que g(x)
Tableau
x -oo alpha +oo
f'(x).........................-................................0......................+..........................
f(x) +oo.........décroi...........................f(alpha).........croi......................+oo
On remarque au passage que f(alpha)<0 et que f(x)=0 admet deux solutions
2x-5=0 x=5/2 et (1-e^-x)=0 soit x=0
Pour la suite je n'ai pas calculette graph .
La droite y=2 coupe la courbe en deux points dabscisse : pour l'un x=beta entre -oo et 0 et pour l'autre x=gamma entre 5/2 et +oo
f(x)>2 sur ]-oo; beta[U] ]gamma; +oo[
calcule les valeurs béta et gamma avec ta calculette .
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