1. La recette est l'argent gagné par la vente des cabanes.
x étant le nombre de cabanes vendues et 320€ le prix d'une cabane, l'entreprise gagne 320€ par cabane. La recette est donc de 320x €.
R(x) = 320x
2. Le bénéfice correspond à la recette moins le coût de fabrication, soit R(x) - C(x)
On a donc 320x - (x² + 250x + 325)
ce qui fait -x² + 320x - 250x - 325, soit -x² +70x - 325
3. Lorsqu'on a une équation de la forme ax² + bx + c, la variation dépend de a :
Si a est positif, la courbe sera en forme de "bol" : les valeurs seront positives sauf entre les racines (les valeurs de x pour lesquelles la fonction vaut 0)
Si a est négatif, la courbe sera en forme de "cloche" : les valeurs seront négatives sauf entre les racines.
4. On calcule la dérivée de B(x) pour déterminer le maximum de la fonction ainsi que le sens de variation :
B'(x) = -2x + 70 B'(x) = 0 si -2x = -70 donc si x = 35
La dérivée est positive pour les valeurs de x inférieures à 35, et négative pour les valeurs de x supérieures à 35. La dérivée est nulle pour x = 35
La fonction augmente donc pour les valeurs de x inférieures à 35 et diminue pour les valeurs supérieures à 35. Elle atteint un "plateau" (ici son maximum) pour x = 35
On remplace x par 35 dans le calcul :
B(35) = -35² + 35×70 - 325 = -1225 + 2450 -325 = 900
5. On utilise le discriminant pour déterminer les racines :
Δ = b² - 4ac, ce qui donne Δ = (-1)² - 4[70×(-325)] soit 91001
Les racines sont donc : (-b - sqrtΔ)/2a et (-b + sqrtΔ)/2a
ce qui donne (-70-sqrt91001)/-2 et (-70+sqrt91001)/-2
ce qui donne ~(-186) et ~116
Pour que le Bénéfice soit positif, il faut que B(x) soit positif, donc x entre 0 et 116 (on n'inclue pas les valeurs négatives de x car on ne peut pas produire un nombre négatif de cabanes)