Bonjour
Je vais commencer à reposer sur le dessin les valeurs et inconnues.
1) Montrer que AS = 12m
La droite AS fait partie d'un triangle rectangle: [tex]PAS[/tex]
Qui dit triangle avec un angle droit dit... suspense... Pythagore !
Rappel: Dans un triangle rectangle: [tex]a^{2}=b^{2}+c^{2}[/tex] où [tex]a^{2}[/tex] est l'hypoténuse.
On a déjà PS qui est l'hypoténuse (le coté se trouvant en face de l'angle droit)
On a aussi l'un des deux cotés; PA
Donc on va les replacer dans la formule du théorème et trouver la valeur qui nous manque
[tex]PS^{2}=PA^{2}+AS^{2}\\\\37^{2} = 35^{2} + AS^{2}\\\\1369 = 1225 + AS^{2}\\\\1369 - 1225 = AS^{2}\\\\144 = AS^{2}\\\\\sqrt{144} = AS\\\\AS = 12[/tex]
2) Expliquer pourquoi les droites AS et RC sont parallèles
AS et RC sont toutes deux perpendiculaires à la droite PR, on le voit puisque les deux forment un angle droit avec celle-ci.
Et deux droites perpendiculaires à la même droite sont toujours parallèles entre elles.
3) Calculer RC
Pour calculer RC on va utiliser le théorème de Thalès (voir schéma 2)
Le théorème nous dit que si deux droites parallèles sont toutes deux coupées par 2 sécantes communes qui se rejoignent, on peut établir un rapport d'égalité entre leurs valeurs (c'est du charabia, le dessin est plus clair)
Donc, comme on l'a fait avec Pythagore, je vais remplacer les valeurs qu'on a dans la formule de Thalès
[tex]\frac{PR}{PA} = \frac{PC}{PS} = \frac{RC}{AS}\\\\\frac{43,75}{35} = \frac{PC}{37} = \frac{RC}{12}[/tex]
Et là on a une triple égalité, pour trouver [tex]PC[/tex] et [tex]RC[/tex] on sépare simplement
(par exemple dans [tex]10 = 5 + 5 = 2 + 8[/tex] on est d'accords que [tex]10 = 2 + 8[/tex] et [tex]10 = 5+5[/tex])
[tex]\frac{43,75}{35} = \frac{PC}{37} \\\\(\frac{43,75}{35} = \frac{PC}{37}).37 \\\\\frac{(43,75).37}{35} = PC\\\\\frac{1618,75}{35} = PC\\\\PC = 46,25[/tex]
et
[tex]\frac{43,75}{35} = \frac{RC}{12} \\\\\frac{43,75}{35}.12 = RC\\\\RC = 15[/tex]
4) Calculer l'aire du skate-park et conclure si le maire sera favorable à cette aménagement.
Maintenant qu'on a toutes les valeurs, cela semble beaucoup plus facile.
Pour trouver l'aire du skate-park il suffit de trouver [tex]A_{1}[/tex] l'aire du grand triangle ([tex]PCR[/tex]) et y soustraire [tex]A_{2}[/tex] l'aire du petit triangle ([tex]PAS[/tex]). (Schéma 3 pour la logique)
Rappel: Formule d'aire d'un triangle: [tex]\frac{base.hauteur}{2}[/tex]
[tex]A_{1} = \frac{RC.PR}{2} \\\\A_{1} = \frac{15.43,75}{2}\\\\A_{1} = \frac{656,25}{2}\\\\A_{1} = 328,125 m^{2}[/tex]
et
[tex]A_{2} = \frac{AS.PA}{2} \\\\A_{2} = \frac{12.35}{2} \\\\A_{2} = \frac{420}{2} \\\\A_{2} = 210 m^{2}[/tex]
Maintenant on trouve [tex]A_{skate}[/tex] l'aire du skate-park:
[tex]A_{1} - A_{2} = A_{skate}\\\\328,125 - 210 = A_{skate}\\\\A_{skate} = 118,125 m^{2}[/tex]
Et le Maire voulait que le skate-park n'occupe pas plus de 120m² donc:
Oui, le maire sera favorable à l'aménagement du skate-park puisqu'il n'occupera que 118,125m²
Voilà, ce qui est important c'est de ne pas oublier Pythagore et Thalès.
Bonne journée !
