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On souhaite démontrer la propriété suivante, notée P:
"In(2)/ln(3) est irrationnel. "
On raisonne par l'absurde.
1) Traduire la propriété contraire de P.
2) Utiliser les propriétés algébriques de la fonction logarithme népé-
rien pour aboutir à une contradiction.

Bonjour, voici mon problème, est-il possible de m’aider ?

Sagot :

Tenurf

Bonjour,

Supposons que ce soit rationnel, il existe p et q premier entre eux tels que

[tex]\dfrac{ln(2)}{ln(3)}=\dfrac{p}{q} \iff qln(2)=3ln(p) \iff ln(2^q)=ln(3^p) \iff 2^q=3^p \\\\\iff p = q\\[/tex]

Du coup, ca donne ln(2)=ln(3) et c'est pas possible comme la fonction ln est une bijection sur son domaine de définition

Donc ln(2)/ln(3) est irrationnel.

Merci