Bonjour j’ai besoin d’aide sur un exercice de maths que je dois rendre demain:

Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par:
U0= 1 et Un+1=0,5Un+3.

1. Calculer U1 U2 et U3.

3. La suite semble-t-elle croissante ? Décroissante?

4. Pour tout entier naturel n, calculer Un+1 - Un

5. On admet que, pour tout n entier naturel, Un<6.
En déduire le sens de variation de la suite (Un).

6. Quelle est la valeur affichée par le programme ci-dessous ?
Interpréter dans le contexte de l'exercice.
from lycee import
U=1
N=0
while U<5.9999:
U=0.5*U+3
N=N+1
print(N)

7. Est-ce que les résultats trouvés précédemment restent vrais si le premier terme de la suite est U0=7 ?

Mercii bcp !!

[tex]u_{1} = (1/2) * u_{0} + 3[/tex][tex]u_{1} = (1/2) * 1 +3 = (1/2) + 3 = (1/2) + (3 * 1) = (1/2) + (3 * (2/2)) = (1/2) + (( 3*2)/2) = (1+6)/2 = 7/2[/tex]

[tex]u_3 = ( 1/2 ) * u_2 +3[/tex]

Je te laisse calculer u_3 avec la même méthode.

3) pour que cela soit croissant il faut que u_n+? > u_n.

Ba là, au pif, tu peux regarder si u_3 est supérieur à u_0 (mais ça marcherait aussi avec u_3 par rapport à u_2 ou u_2 par rapport à u_0).

4) là il faut rentrer dans les formules algébrique. Le but est d'avoir une expression en fonction d'un seul terme (disons u_n puisqu'on connaît u_0).

Il n'y a plus qu'à remplacer tout ce qui n'est pas écrit en u_n.

u_n+1 - u_n = traduction_de_u_n+1_en_fonction_de_u_n - u_n

On a du bol, l'énoncé nous à déjà donné la traduction_de_u_n+1_en_fonction_de_u_n :

u_n+1 = (1/2) * u_n + 3

On peut donc utiliser cette traduction_de_u_n+1_en_fonction_de_u_n dans notre équation :

u_n+1 - u_n = (1/2) * u_n + 3 - (1 * u_n) = ((1/2) - 1) u_n + 3 = -(1/2) u_n + 3

On vérifie avec u2 et u1 :

u1 - u0 = (7/2) - 1 = (7/2) - (2/2) = 5/2

-(1/2) u0 + 3 = -(1/2) + 3 = -(1/2) + (6/2) = 5/2

Vu que 5/2 = 5/2 on doit pas être mal.

5)

là on explique que n'importe quel u_n vaut pas plus de 6.

Vu qu'on a dit que u_n+? > u_n cela veut dire qu'on a une suite qui monte mais qui ne dépasse jamais 6.

Si il y a un plafond comme ça c'est que la suite ne monte pas en ligne droite et tend vers une limite. On aura sûrement une forme qui ressemble à la courbe "racine carré" mais au lieu de tendre ver + l'infini, on tendrait vers 6 ou moins.

6)

là on sait pas pourquoi mais il y a un bout de code en on ne sait pas quel langage. Disons que c'est du python.

On défini une variable U qui prend la valeur 1

On défini une variable N qui prend la valeur 0

on lance on boucle "tant que" avec la condition pour rester que la variable U est une valeur inférieur = 5.9999 (donc on imagine que U est une variable "float" et pas "integer").

------dans la boucle : la variable U prend la valeur 0,5*U(valeur juste avant l'opération) + 3 (cela ressemble exactement à notre suite).

------dans la boucle : la variable N prend la valeur N(valeur juste avant l'opération) + 1

------dans la boucle : on affiche la valeur de N (finalement le nombre de tour).

Sortie de la boucle : on ne fait plus rien = Fin du programme

Le programme affiche donc le nombre entier naturel N qu'il faut pour que u_n dépasse tout juste la valeur : 5,9999

7) faut tout refaire de 1) à 3) avec u0 = 7 au lieu de 1.

Vu que u_n est grand (en tout cas plus que 6), il y a des chance qu'on soit décroissant (au moins au début).

le résultat 4 ne change pas car on a jamais utilisé de valeur numérique.

Je ne sais pas pourquoi mais je pense qu'on va quand même tendre vers 6 mais de façon décroissante et qu'on aura u_n > 6.

Bon courage pour le 7) !