Bonjour,
1)
Comme le triangle ABC est un triangle équilatéral de côté 8, la distance AB = AC = BC = 8.
Et comme le restangle MNPQ est inscrit dans le triangle, M est forcément dans le segment AB.
M peut donc parcourir tous les points du segment de M = A (x=0) à M=b (x=8).
Donc les valeurs possible de x sont [0;8].
2)
Comme H est le pied de la hauteur issue ce C, les droites (CH) et (AB) sont perpendiculaires. Ainsi, le triangle ACH est rectangle en H, et nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore. Comme ABC est un triangle équilatéral H est le milieu de AB.
[tex]AC^2=AH^2+CH^2 \\ \\\iff CH^2=AC^2-AH^2=8^2-4^2=48=3\times 4^2 \\\\\iff CH=4\sqrt{3}[/tex]
3)
Le triangle AMN est rectangle en M, nous avons une configuration de Thales, (MN) et (CH) parallèles et (AC) et (AH) sécante en A, donc
[tex]\dfrac{CH}{MN}=\dfrac{AH}{AM} \\\\CH \times AM = AH \times MN \\\\\iff 4x\sqrt{3}=4 \times MN \\\\\iff MN=x\sqrt{3}[/tex]
4)
L'aire du rectangle MNPQ est
[tex]MN \times MQ \\\\=x\sqrt{3} \times (8-2x)\\\\=x(8-2x)\sqrt{3} \\\\=\sqrt{3} \left ( 8x-2x^2\right )\\\\=\sqrt{3} \left ( -2(x^2-4x) \right )\\ \\=\sqrt{3} \left ( -2(x-2)^2+8 \right ) \\\\=-2\sqrt{3}(x-2)^2+8\sqrt{3}[/tex]
Comme un carré est toujours positif cette expression est majorée par [tex]8\sqrt{3}[/tex]
et il y a égalité pour x = 2.
Donc l'aire du rectangle est maximale pour x = AM = 2, ce qui veut dire que M est le milieu de AH.
Merci
