Réponse : Bonsoir,
a²-b² est premier, il a donc seulement deux diviseurs: 1, a²-b².
Il se décompose de deux façons:
i) [tex]a^{2}-b^{2}=1 \times (a^{2}-b^{2})[/tex]
Donc:
[tex]a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)=1 \times (a^{2}-b^{2})\\a-b=1 \quad ou \quad a+b=a^{2}-b^{2}\\a=b+1 \quad ou \quad a^{2}-b^{2}-a-b=0\\a=b+1 \quad ou \quad (a-b)(a+b)-(a+b)=0\\a=b+1 \quad ou \quad (a+b)[a-b-1]=0\\a=b+1 \quad ou \quad [a=-b \quad ou \quad a=b+1][/tex]
a=-b n'est pas possible car a et b sont des entiers naturels, donc a=b+1.
a et b sont donc consécutifs.
ii) [tex]a^{2}-b^{2}=(a^{2}-b^{2}) \times 1[/tex]
Donc:
[tex]a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)=(a^{2}-b^{2}) \times 1\\a-b=a^{2}-b^{2} \quad ou \quad a+b=1\\a^{2}-b^{2}-a+b=0 \quad ou \quad a+b=1[/tex]
Comme a et b sont des entiers naturels, alors seuls a=0, et b=1 ou a=1, et b=0, vérifient a+b=1, a et b sont donc consécutifs.
Puis:
[tex]a^{2}-b^{2}-a+b=0\\(a-b)(a+b)-(a-b)=0\\(a-b)(a+b-1)=0\\a-b=0 \quad ou \quad a+b-1=0\\a=-b \quad ou \quad a+b=1[/tex]
a=-b n'est pas possible, car a et b sont des entiers naturels, et on a vu que a+b=1, impliquait a=0, b=1, ou a=1, b=0.
a et b sont donc consécutifs.
Conclusion: a²-b² premier implique que a et b sont consécutifs.
