Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
f(x) est de la forme u*v avec :
u=e^x donc u'=e^x
v=ln(x) donc v'=1/x
f '(x)=u'v+uv'=e^x*ln(x)+e^x/x
f '(x)=e^x[ln(x)+(1/x)]
2)
a)
g '(x)=1/x-1/x²
g '(x)=(x-1)/x²
b)
g '(x) est donc du signe de : x-1.
x-1 > 0 ==>x > 1
c)
x--------->0.........................1.......................+inf
g '(x)---->..............-...............0...........+.............
g(x)----->||............D...............1..............C.............
D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.
d)
g(x) passe par un minimum qui est 1 pour x=1 donc g(x) est tjrs > 0.
3)
f '(x)=e^x[ln(x)+(1/x)]
f '(x) tjrs > 0 car composé de 2 facteurs tjrs > 0.
x------>0........................................................+inf
f '(x)---->||.......................+...............................
f(x)------->||.......................C..........................
4)
f(1)=e^1*ln(1)=0
La fct f(x) est continue et strictement croissante sur ]0;+inf[. Comme f(1)=0, la fct f(x) est négative sur ]0;1[ et positive sur ]1;+inf[.
Voir graph pour vérification.
