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Bonjour, je vous sollicite aujourd'hui car j'ai énormément besoin de votre aide sur un DM sur les exponentiels et limites.
Merci de votre compréhension

Bonjour Je Vous Sollicite Aujourdhui Car Jai Énormément Besoin De Votre Aide Sur Un DM Sur Les Exponentiels Et Limites Merci De Votre Compréhension class=

Sagot :

SVANT

Réponse:

Bonjour

1) Étudions le signe de la difference des deux expressions a comparer.

-x² - ( -2x + 1) = -x² + 2x - 1 = -(x²-2x+1) = -(x-1)²

ainsi (x-1)² ≥ 0 (un carré est toujours positif ou nul)

<=> -(x-1)² ≤ 0

<=> -x² - ( -2x + 1) ≤ 0

<=> -x² ≤ -2x + 1 pour tout x > 0

la fonction exponentielle étant strictement croissante, l'ordre est conservé entre 2 nombres et leurs images

donc exp(-x²) ≤ exp(-2x+1) pour tout x > 0

2a)

-0,5e×(-2xe⁻²ˣ) =

-0,5×(-2x ) × e⁻²ˣ×e¹ =

xe⁻²ˣ⁺¹

2b)

lim (-2x) = -∞

x→+∞

lim xeˣ = 0 par croissance comparee

x→-∞

donc

lim (-2xe⁻²ˣ) = 0 par composée de fonctions.

x→+∞

lim (-0,5e×(-2xe⁻²ˣ)) = 0

x→+∞

donc

lim (xe⁻²ˣ⁺¹) = 0

x→+∞

pour x > 0, on a d'apres la question 1

xe⁻ˣ²≤ xe⁻²ˣ⁺¹

et

xe⁻ˣ² ≥0

ainsi

0 ≤ f(x) ≤ xe⁻²ˣ⁺¹

donc d'apres le théorème des gendarmes

lim f(x) = 0

x→+∞

3)

f est de la forme u×v

f'(x) = 1×e⁻ˣ² + x×(-2xe⁻ˣ²)

f'(x) = e⁻ˣ²(1-2x²)

4)

e⁻ˣ² > 0 pour tout x ≥ 0 donc f'(x) est du signe de 1-2x² pour x ≥ 0

1-2x² ≥0 <=>

1 ≥ 2x² <=>

x² ≤ ½ <=>

0 ≤ x ≤ (√2) /2

ainsi

f'(x) est positive sur [0; (√2)/2] et f est croissante sur [0; (√2)/2]

f'(x) est negative sur [(√2)/2; +∞[ et f est décroissante sur [(√2)/2; +∞[.

le tableau de variation n'est pas explicitement demandé. on pourra le dresser en y faisant apparaitre la limite calculée en 2) ainsi que la valeur du maximum f(√2/2)

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