Réponse :
2) en utilisant la réciproque du th.Thalès dans le triangle ABD, démontrer que les droites (CI) et (DA) sont parallèles
sachant que I est le milieu de AB et D est le symétrique de B par rapport à G donc :
d'après la réciproque du th.Thalès : BI/BA = BG/BD ⇔ BI/2BI = BG/2BG ⇔ 1/2 = 1/2
les rapports des côtés proportionnels sont égaux donc d'après la réciproque du th.Thalès on en déduit que les droites (GI) et (DA) sont parallèles et comme le point G ∈ à la médiane (CI) donc (CI) // (DA)
3) de même, démontrer que les droites (AJ) et (DC) sont parallèles
on utilise le triangle BCD
sachant que J est le milieu de BC et D est le symétrique de B par rapport à G donc :
d'après la réciproque du th.Thalès : BJ/BC = BG/BD ⇔ BJ/2BJ = BG/2BG ⇔ 1/2 = 1/2
les rapports des côtés proportionnels sont égaux donc d'après la réciproque du th.Thalès on en déduit que les droites (GJ) et (DC) sont parallèles et comme le point G ∈ à la médiane (AJ) donc (AJ) // (DC)
4) en déduire que le quadrilatère GADC est un parallélogramme
sachant que (IC) // (AD) et (AJ) // (DC) et G est le point d'intersection des médianes (CI) et (AJ) donc (CG) // (AD) et (AG) // (DC)
d'après la propriété du cours si les côtés opposés sont // alors le quadrilatère est un parallélogramme
en effet, puisque (CG) // (AD) et (AG) // (DC) donc GADC est un parallélogramme
5) démontrer que la droite (BG) est la médiane issue de B dans le triangle ABC
on sait que les droites (CI) et (AJ) sont des médianes issues respectivement de C et A du triangle ABC et qu'elles comme point d'intersection G
donc la droite (BG) qui passe par le point G et par le sommet B est la 3ème médiane qui passe par le point G et le point B; ainsi la droite (BG) est la médiane issue de B du triangle ABC
6) on appelle O le point d'intersection des droites (BG) et (AC)
Démontrer que BG = (2/3) BO
BI/BA = BG/BD or BD = BG + GD et GD = GO + OD or GO = OD ( GADC est un parallélogramme)
BD = BG + 2GO ⇔ BD = BG + 2(BO - BG) = 2BO - BG
on pose BG = x ⇒ 1/2 = x/(2BO - x) ⇔ 2 x = 2BO - x ⇔ 3 x = 2BO
⇔ x = 2/3)BO donc BG = 2/3)BO
Explications étape par étape
