aide svp
deux réels x et y ont pour somme 2 et la somme de leur inverses est -2
quels sont les réels x et y sachant que x<y?
merci :)
on obtient le systeme :
{x+y=2
{1/x+1/y=-2
donc
{x+y=2
{x+y=-2xy
donc
{x+y=2
{xy=-1
donc x et y sont les racines du trinôme : X²-2X-1=0
donc (X-1)²-2=0
donc X=1-√2 ou X=1+√2
ainsi x=1-√2 et y=1+√2 car x<y
On a : x + y = 2
et 1/x + 1/y = -2
Soit, le système suivant :
{ x + y = 2
{ 1/x + 1/y = -2
{ y = 2 - x
{ y + x = -2 xy
{ y = 2 - x
{ (2 - x) + x = -2x(2 - x)
{ y = 2 - x
{ 2 = -4x + 2x²
{ y = 2 - x
{ 2x² - 4x - 2 = 0
Or le discriminant de 2x² - 4x - 2 est : (-4)² - 4(2)(-2) = 32 = (4√2)²
Qui est un nombre positif. L'équation a donc deux racines :
— (4 - 4√2) / 2(2) = 1 - √2
— (4 + 4√2) / 2(2) = 1 + √2
Comme x < y
et que 2(1 + √2) = 2 + 2√2 > 2
alors x = 1 - √2
Et y = 2 - x
= 2 - (1 - √2)
= 1 + √2
[Vérification : (1 - √2) + (1 + √2) = 2
et 1/(1 - √2) + 1/(1 + √2) = [(1 + √2) + (1 - √2)] / (1² - √2²)
= 2/-1
= -2]
Donc x = 1 - √2 et y = 1 + √2