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aide svp

deux réels x et y ont pour somme 2 et la somme de leur inverses est -2

quels sont les réels x et y sachant que x<y?

merci :)

Sagot :

on obtient le systeme :

{x+y=2

{1/x+1/y=-2

 

donc

{x+y=2

{x+y=-2xy

 

donc

{x+y=2

{xy=-1

 

donc x et y sont les racines du trinôme : X²-2X-1=0

donc (X-1)²-2=0

donc X=1-√2 ou X=1+√2

 

ainsi x=1-√2 et y=1+√2 car x<y

MHAQUILA

   On a :          x + y  =  2
       et       1/x + 1/y  =  -2

 

 Soit, le système suivant :

 

       {  x + y  =  2
       {  1/x + 1/y  =  -2

 

       {  y  =  2 - x
       {  y + x  =  -2 xy

 

       {  y  =  2 - x
       {  (2 - x) + x  =  -2x(2 - x)

 

       {  y  =  2 - x
       {  2  =  -4x + 2x²

 

       {  y  =  2 - x

       {  2x² - 4x - 2  =  0

 

   Or le discriminant de    2x² - 4x - 2    est :      (-4)² - 4(2)(-2)  =  32  =  (4√2)²

 

   Qui est un nombre positif. L'équation a donc deux racines :
   —   (4 - 4√2) / 2(2)   =   1 - √2
   —   (4 + 4√2) / 2(2)   =   1 + √2

 

   Comme    x < y

   et que      2(1 + √2)  =  2 + 2√2  >  2

   alors        x  =  1 - √2

 

   Et     y  =  2 - x

               =  2 - (1 - √2)

               =  1 + √2

 

   [Vérification :    (1 - √2) + (1 + √2)  =  2
                    et      1/(1 - √2) + 1/(1 + √2)  =  [(1 + √2) + (1 - √2)] / (1² - √2²)

                                                                     =  2/-1

                                                                     = -2]

 

   Donc    x  =  1 - √2    et    y  =  1 + √2