Explications étape par étape:
Bonjour, ton exercice est relativement classique, résolution d'équation et factorisation (qui retombera souvent, à ne pas négliger donc).
1- Il suffit de remplacer x par 3, et en calculant f(3), on obtient 0 (la 2e question nous parachute le nombre attendu).
2- En l'état actuel des choses, on ne peut pas résoudre l'équation, idéalement il faudrait factoriser. On sait que 3 est solution, donc f(x) est factorisable par x-3. Il reste donc un polynôme de degré 2 à trouver ax^2 + bx + c tel que :
f(x) = (x-3)(ax^2 + bx + c).
Maintenant on développe : f(x) =ax^3 + bx^2 + cx - 3ax^2 - 3bx - 3c = ax^3 + (b-3a)x^2 + (c-3b)x - 3c.
À présent, on identifie les coefficients, par rapport à la véritable expression :
a = 15, b-3a = -34, c-3b = - 47 et -3c = 42.
Finalement : a = 15, b = 11 et c = - 14.
3- La forme factorisée de f s'exprime ainsi :
f(x) = (x-3)(15x^2 + 11x - 14).
f(x) = 0 équivaut à x = 3, ou 15x^2 + 11x - 14 = 0. Le discriminant vaut delta = 121 + (14*15*4) = 961.
Ainsi, 2 solutions : x1 = (-11 - 31)/30 = -42/30 = -7/5 et x2 = (-11 + 31)/30 = 20 / 30 = 2/3.
Ainsi l'ensemble S des solutions vaut :
S = {-7/5 ; 2/3 / 3}
