Réponse :
a)
On cherche à démontrer que (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx
(1 + x)² = 1 + 2x + x²
(1 + x)³ = (1 + 2x + x²)* (1 + x) = ( 1 + 2x + x² + x + 2x² + x³ )
(1 + x)³ = 1 + 3x + 3x² + x³
(1 + x)⁴ = (1 + 3x + 3x² + x³)* (1 + x) = 1 + 3x + 3x² + x³ + x + 3x² + 3x³ + x⁴
(1 + x)⁴ = 1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴
Or (1 + x)ⁿ = (1 + x) * (1 + x) * ... * (1 + x) * (1 + x) avec n terme de (1 + x)
Soit (1 + x)ⁿ = xⁿ + n*xⁿ⁻¹ + ... + n*xⁿ⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ + 1
Soit (1 + x)ⁿ = xⁿ + n*xⁿ⁻¹ + ... + n*x + 1
Soit démontrer que xⁿ + n*xⁿ⁻¹ + ... + nx + 1 ≥ 1 + nx
En simplifiant cela revient à démontrer que xⁿ + n*xⁿ⁻¹ + ... ≥ 0
Soit démontrer par simplification que xⁿ ≥ 0
Ce qui est vrai pour tout n réel strictement positif
b) On utilise l'équation démontrée en a)
(1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx
Si x = 1, alors (1+1)ⁿ ≥ 1 + n*1
Soit 2ⁿ ≥ 1 + n
Si x = 2, alors (1+2)ⁿ ≥ 1 + n*2
Soit 3ⁿ ≥ 1 + 2n
Or (1 + 2n) > n
Soit 3ⁿ ≥ n
Si x = n, alors (1+n)ⁿ ≥ 1 + n*n
Soit (n+1)ⁿ ≥ 1 + n²
Explications étape par étape
